Proširenje funkcije Lorentovog niza u prsten. Loranov niz izolovanih singularnih tačaka i njihova klasifikacija

Ako funkcija f(x) ima derivate svih redova na određenom intervalu koji sadrži tačku a, tada se na nju može primijeniti Taylorova formula:
,
Gdje r n– takozvani preostali član ili ostatak serije, može se procijeniti pomoću Lagrangeove formule:
, gdje je broj x između x i a.

f(x)=

u tački x 0 = Broj elemenata reda 3 4 5 6 7

Pravila za unos funkcija:

Ako za neku vrijednost X r n→0 at n→∞, tada u granici Taylor formula postaje konvergentna za ovu vrijednost Taylor serija:
,
Dakle, funkcija f(x) može se proširiti u Taylorov red u tački x koja se razmatra ako:
1) ima derivate svih naloga;
2) konstruisani niz konvergira u ovoj tački.

Kada je a = 0 dobijamo niz koji se zove Maclaurin red:
,
Proširenje najjednostavnijih (elementarnih) funkcija u Maclaurin seriji:
Eksponencijalne funkcije
, R=∞
Trigonometrijske funkcije
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcija actgx se ne širi po stepenu x, jer ctg0=∞
Hiperboličke funkcije


Logaritamske funkcije
, -1 |C - Zq i, prema tome, redovi u (25.5) divergiraju. Imamo

Ponovo primjenjujući formulu (22.C) dobijamo

Za sve C € G2 jednakosti su zadovoljene

Od serije qi n konvergira, onda na osnovu uniformnog kriterijuma

Weierstrassova konvergencija (teorema 20.2), niz na desnoj strani (25.8) konvergira na G O apsolutno i uniformno u varijabli?. Zgodno je da ovaj niz prepišemo u malo drugačijem obliku uvođenjem novog indeksa sumiranja To jednakost To = -P - 1, tj. P = -Za - 1. Kada P uzima vrijednosti 0,1,2,..., index To prolazi kroz vrijednosti -1, -2, -3____

Pomnožimo jednakosti (25.9) sa f(Q(što neće poremetiti uniformu

konvergenciju niza u (25.9) na kružnici Γr) i integrirati član po član duž Γr:

Indeks To u formulama (25.10), (25.11) može se zamijeniti bilo kojim drugim slovom; posebno, možemo ga ponovo označiti sa n, gdje P= - 1,- 2,... Zamjenom proširenja (25.6) i (25.10) u (25.4) dolazimo do jednakosti (25.2). Funkcija. je analitičan

(SA - zo)n+l

u prstenu g g 0 p, tako da r onda se oba kruga Ti i Gg mogu zamijeniti kružnicom |S - zq = r. U ovom slučaju, jednakosti (25.7) i (25.11) će biti zapisane jednom formulom (25.3). Teorema 25.3 je dokazana.

Niz (25.2) u cjelobrojnim potencijama (z- -th) (i pozitivni i negativni), čiji su koeficijenti određeni oblikom -

lam (25.3), zove se pored Laurenta funkcije f(z). Red ^2 c n (z -

P=0

• - Zo)n pozvao desni deo, i serije c n (z - zq) u (piši

Također c n( z - z o) n) - glavni dio Laurent serija (razumno

Tačna priroda imena će postati jasna kasnije).

Pređimo sada na pitanje jedinstvenosti ekspanzije (25.2).

Teorema 25.2 (teorema jedinstvenosti za proširenje funkcije u Laurentov red). Neka u nekom prstenu V= (g z - zo (25.2). Tada je f(z) je

analitička funkcija u V, i koeficijenti sa n, n = 0, ±1, ±2.... ekspanzije se određuju jedinstveno formulama (25.3).

Dokaz. Pošto, prema uslovima teoreme, red (25.2) konvergira u V, tada se oba niza konvergiraju na desnoj strani (25.1), kompozicije

ležeći niz (25.2). Prvi je red Y1 °n(z ~ z o) n ~ je

običan niz stepena koji konvergira u određenom krugu sa centrom Zo i razilaze se izvan ovog kruga. Pošto se ova serija konvergira u V, zatim cijeli prsten V leži u krugu konvergencije. Od iznosa

niz stepena je analitičan u krugu konvergencije (svojstvo 21.6), dakle

zbir Si (.g) serije c n (z - zq) h je analitičan u V. Po svojstvu 21.5,

ovaj niz ravnomjerno konvergira u bilo kojem krugu z- zq R"

ali broj c n(z - zo) n - Napravimo promjenu varijabli stavljanjem Z=

=-, To= - n Tada će niz koji se proučava poprimiti oblik V C-uZ k. Ovo

z ~ z o k=l

serija je niz stepena u odnosu na varijablu Z s centar Zo= 0: konvergira u nekom krugu With Ovaj niz ravnomjerno konvergira (svojstvo 21.5). Vratimo se sada na varijablu z. Zatim zaokružite

/?o će ući u skup --- z - zo >1 /Ro, one. u spoljašnjost kružnice sa centrom zq poluprečnika 1/Lo- Dakle, serija

^2 c n (z -Zo)n konvergira na |z - Zo > l/Ro na analitičku funkciju P=-1

cija 5-2(g) i divergira na z - zo 1 /Rq. Pošto se ova serija konvergira u V, zatim ceo prsten V leži u regionu konvergencije z-Zo > 1/Yao ovog reda. Istovremeno, na tom području z- zo > 1 //?o s N® Ali konvergencija će biti uniformna. Konkretno, rad konvergira jednoliko na |z - zo > g", Ako g" > G.

Dakle, oba niza na desnoj strani (25.1) konvergiraju u prsten V a njihovi sumi Si(z) i S-j(z) su analitički u V. Dakle, funkcija f(z) = Si (z) + 4* S-z(z) analitički in V.

Pokažimo da su koeficijenti s str ekspanzije se određuju jedinstveno formulama (25.3). Uzmimo kružnicu G = (z - zo= /?), gdje d Pokupimo brojeve G" I R" tako da d Oba reda na desnoj strani (25.1) jednoliko se konvergiraju u prstenu V= = (z; z - Zo R 1 )- Ovo znači red

jednoliko konvergira u njemu. Ovo svojstvo će biti sačuvano nakon množenja obje strane proizvoljnom potencijom (z - zo)~ n ~ l , n = O, ±1, ±2_____ pošto je svaki od ovih stepeni funkcija granice

vrednovan u V(vidi napomenu 20.5):

Na osnovu teoreme 20.4, rezultirajući niz se može integrirati pojam po član duž Γ:

Koristimo sada jednakost (15.7):

prema kojem su svi integrali na lijevoj strani (25.12) jednaki nuli, osim jednog, za koji k - p - 1 = - 1 (tj. To = yy) a koji je jednak 2tgg. Dakle, u zbiru iz (25.12) ostaje samo jedan član na k = n, i dobijamo

što je ekvivalentno jednakosti (25.3). Teorema 25.2 je dokazana.

U dokazu teoreme 25.2, ustanovili smo da se niz (25.2) svodi na uniju dva niza stepena, od kojih jedan konvergira unutar kruga sa centrom zq, a drugi izvan kruga manjeg polumjera sa istim centrom (ako je poluprečnik drugog kruga bio veći, tada bi skup konvergencije nizova (25.2) bio prazan). Označimo poluprečnike ovih kružnica R i g(ovdje nije navedeno da se ovi brojevi poklapaju sa vanjskim i unutrašnjim polumjerima prstena V u teoremama 25.1, 25.2). Iz ovoga i iz svojstava redova stepena (videti §21) slede sledeća svojstva reda (25.2).

Svojstvo 25.3. Skup konvergencije serije (25.2) je prsten V= (z z - zq R) sa mogućim dodavanjem nekih ili svih tačaka na njegovoj granici. U ovom slučaju su mogući slučajevi r = 0 i R = oo.

Svojstvo 25.4. Suma 5(g) red (25.2) je analitička funkcija unutar prstena V.

Svojstvo 25.5. Red (25.2) može se integrirati i razlikovati pojam po član unutar prstena V bilo koji broj jhm. Rezultirajući nizovi imaju isti prsten konvergencije V, Šta

i originalnu seriju (25.2); Konvergencija na graničnim tačkama možda neće biti sačuvana.

Svojstvo 25.6. Ako je V = (g Zo je prsten konvergencije Laurentovog reda funkcije f(z) i 0

Dokaz. Laurentov niz funkcija/ (z) postoji ujedinjeno oo 1

kombinacija dva niza snaga °n(z ~ z o) n i c_*Z*, gdje Z =-.

n=0 k-z-Z0

Krugovi konvergencije ovih serija su z- 2o| R and z - zo = R i = 1/g (tj. z - zo = g) postoje singularne tačke

funkcije Si(z) = c n(z - Zq) u and S-2 (z) = Cn(z-z 0)n shodno tome

zapravo. Prema tome, ove kružnice sadrže singularne tačke funkcije f(z)= Si (g) + S-2 (z), Q.E.D.

Za pronalaženje proširenja Laurentovog niza široko se koriste iste tehnike kao i za proširenja Taylorovih redova, naime metoda zamjene, integracija pojam po član i diferencijacija nizova, itd.

Primjer 25.7. Pronađite sve Laurentove ekspanzije funkcije

/( g) = f u potencijama (z - 1).

" z(z - 1)

Rješenje. Napravimo promjenu varijable: w = z- 1, tj. z = w +

1. Nakon izvršene zamjene dobijamo funkciju r/(rc) = . w. . jednom-

(w+ 1)wj

stavite rezultujući razlomak u zbir najjednostavnijih razlomaka (za više informacija o proširenju u zbir najjednostavnijih razlomaka, pogledajte §32 Proširivanje ćemo potražiti u obliku).

Gdje A I D brojeve koje pokušavate pronaći. U tu svrhu dovodimo razlomke s desne strane na zajednički nazivnik:

Iz toga slijedi w + 2 = A(w + 1) + bw, a jednakost vrijedi za sve vrijednosti w, uključujući w = 0 i w =- 1 (ovo slijedi iz kontinuiteta lijevog i desni delovi ovu jednakost). At w = 0 dobijamo 2 = .4, tj. A= 2; zamjena w =-1, imamo 1 = -B, one. IN= - 1. Dakle,

Ova funkcija ima singularne tačke w = 0, w = - 1 i, prema tome, apolitičan u prstenovima V’i = (0 w

At w> 1 rezultirajući niz prestaje da konvergira. Stoga, proširiti funkciju g(w) u ringu U 2 razlomak treba pretvoriti:

Kada |w| > 1 će biti -

umjesto z staviti u l/w. Provodeći naznačene supstitucije, dobijamo

(napravili smo zamenu k = - (n+ 1) i koristio je jednakost (- 1)* = (-I) - *). Vraćanje na varijablu z-w+ 1, dobijamo tražena proširenja funkcije f(z):

novi član - - (svi ostali koeficijenti glavnog dijela su jednaki

mi smo nula), a niz u (25.13) daje tačan dio ekspanzije. Na 1 z - 1| z - 1| = 0 sa poluprečnikom 0u|r-1| = 1 sa radijusom 1) sadrže singularne tačke funkcije f(z).

Taylor rangira servis efektivna sredstva za proučavanje funkcija analitičkih u krugu zol Za proučavanje funkcija analitičkih u domeni prstena, pokazalo se da je moguće konstruirati ekspanzije u pozitivnim i negativnim potencijama (z - zq) oblika generalizirajući Taylorove ekspanzije. Niz (1), shvaćen kao zbir dva niza, naziva se Lorentov red. Jasno je da je područje konvergencije serije (1) zajednički dio područja konvergencije svakog od nizova (2). Hajde da je nađemo. Područje konvergencije prvog niza je kružnica čiji je polumjer određen Cauchy-Hadamard formulom Unutar kruga konvergencije, niz (3) konvergira analitička funkcija, i u bilo kojoj kružnici manjeg radijusa, konvergira apsolutno i ravnomjerno. Drugi niz je niz stepena u odnosu na promenljivu. Red (5) konvergira unutar svog kruga konvergencije na analitičku funkciju kompleksne varijable m-*oo, a u bilo kojoj kružnici manjeg radijusa konvergira apsolutno i ravnomerno. znači da je površina konvergencije niza (4) izgled kruga - Ako postoji opšta oblast konvergencija serija (3) i (4) - kružni prsten u kojem niz (1) konvergira analitičkoj funkciji. Štaviše, u bilo kojem prstenu se konvergira apsolutno i jednolično. Primjer 1. Odrediti područje konvergencije Rad Laurentovog reda Izolirane singularne tačke i njihova klasifikacija M Područje konvergencije prvog niza je vanjski dio kruga, a područje konvergencije drugog niza je unutrašnjost kružnice Dakle, ovaj niz konvergira u krugove Teorema 15. Bilo koja funkcija f (z), jednoznačna i apolitična u kružnom prstenu može se u ovom prstenu predstaviti kao zbir konvergentnog niza, čiji su koeficijenti Cn jednoznačno određeni i izračunati prema formulama gdje je 7p kružnica polumjera m fiksirajmo proizvoljnu tačku z unutar prstena R. Konstruirajmo kružnice sa centrima u tački r, čiji polumjeri zadovoljavaju nejednakosti i razmotrimo novi prsten Koristeći Cauchyjev integralni teorem za višestruko povezanu domenu, transformiramo zasebno svaki od integrala u zbiru (8). Za sve tačke £ duž kružnice 7d* zadovoljena je relacija de zbroja ravnomerno konvergentnog niza 1 1. Stoga se razlomak ^ može predstaviti u vi- / "/ množenjem oba dela kontinuiranom funkcijom (O i provođenjem). Integracijom po članu duž kružnice dobijamo da transformaciju drugog integrala izvodimo na nešto drugačiji način. Za sve tačke £ na kružnici ir> vrijedi sljedeća relacija kao zbir uniformno konvergentnog niza Množenjem oba dijela kontinuiranom funkcijom) i integrirajući polovično duž kružnice 7/, dobivamo da su integrandi u formulama (10) i (12) analitičke funkcije u kružnom prstenu. Prema tome, prema Cauchyjevom teoremu, vrijednosti odgovarajućih integrala neće se promijeniti ako krugove 7/r i 7r/ zamijenimo bilo kojim krugom desna strana formule (8) sa njihovim izrazima (9) i (11), respektivno, dobijamo traženo proširenje Kako je z proizvoljna tačka prstena, sledi da niz (14) konvergira funkciji f(. z) svuda u ovom prstenu, iu bilo kom prstenu, red konvergira ovoj funkciji apsolutno i ravnomerno. Dokažimo sada da je dekompozicija oblika (6) jedinstvena. Pretpostavimo da postoji još jedno proširenje. Tada ćemo svuda unutar prstena R imati na kružnici, nizovi (15) jednoliko konvergirani. Pomnožimo obje strane jednakosti (gdje je m fiksni cijeli broj, i integrirajmo oba reda član po član. Kao rezultat, dobijemo na lijevoj strani, a na desnoj - Sch. Dakle, (4, = St. m je proizvoljan broj, posljednja jednakost dokazuje jedinstvenost dekompozicije. Niz (6), čiji se koeficijenti izračunavaju pomoću formula (7), naziva se Loranov red funkcije f(z) u prstenu serije Laurent, a sa negativnim - njegov glavni dio. Formule (7) za koeficijente Laurentovog reda rijetko se koriste u praksi, jer po pravilu zahtijevaju glomazne proračune. Obično se, ako je moguće, koriste gotove Taylorove ekspanzije elementarnih funkcija. Na osnovu jedinstvenosti dekompozicije, svaka legalna metoda dovodi do istog rezultata. Primjer 2. Razmotrimo proširenja funkcije u Laurentov red raznim oblastima, prihvatajući Fuisciju /(g) ima dvije singularne točke: . Prema tome, postoje tri prstenasta područja, sa centrom u tački r = 0. U svakom od njih funkcija f(r) je analitička: a) krug je prsten, spoljašnjost kružnice (slika 27). Nađimo Lorentove ekspanzije funkcije /(z) u svakom od ovih područja. Predstavimo /(z) kao zbir elementarnih razlomaka a) Krug Relaciju (16) transformiramo na sljedeći način geometrijska progresija, dobijamo Zamenite pronađena proširenja u formulu (17): Ovo proširenje je Taylorov red funkcije /(z). b) Prsten za funkciju -r ostaje konvergentan u ovom prstenu, budući da red (19) za funkciju j^j za |z| > 1 se razilazi. Stoga transformiramo funkciju /(z) na sljedeći način: ponovo primjenom formule (19) dobijamo da ovaj niz konvergira za. Zamjenom proširenja (18) i (21) u relaciju (20) dobijamo c) Eksterijer kruga za funkciju -z za |z| > 2 divergira, a niz (21) za funk- Predstavimo funkciju f(z) u sljedećem obliku: / Koristeći formule (18) i (19), dobijamo ILI 1 Ovaj primjer pokazuje da za istu funkciju f(z ) Lorentova ekspanzija, općenito govoreći, ima različite vrste za različite prstenove. Primjer 3. Pronađite proširenje 8. Laurentovog niza funkcije Laurentov red Izolirane singularne tačke i njihova klasifikacija u domenu prstena A Koristimo prikaz funkcije f(z) u sljedećem obliku: i transformiramo drugi član Koristeći formulu za zbir članova geometrijske progresije, dobijamo Zamjenom pronađenih izraza u formulu (22), imamo primjer 4. Proširimo funkciju u Lorentov red u tački zq = 0. Za bilo koji kompleks imamo Stavi ovo proširenje važi za bilo koju tačku z F 0. In u ovom slučaju prstenasto područje predstavlja cijelu kompleksnu ravan sa jednom izbačenom tačkom z - 0. Ovo područje se može definirati sljedećom relacijom: Ova funkcija je analitička u području Iz formule (13) za koeficijente Laurentovog reda, koristeći istu rezonujući kao u prethodnom paragrafu, mogu se dobiti nejednakosti Kouiw. ako je funkcija f(z) ograničena na kružnicu, gdje je M konstanta), tada Izolirane singularne točke Tačka zo se naziva izolirana singularna točka funkcije f(z) ako postoji prstenasto susjedstvo tačke ( ovaj skup se ponekad naziva probušenom okolinom tačke 2o), u kojoj je funkcija f(z) jedinstvena i analitična. U samoj tački zo, funkcija je ili nedefinirana ili nije jednoznačna i analitička. U zavisnosti od ponašanja funkcije /(r) pri približavanju tački zo, razlikuju se tri tipa singularnih tačaka. Kaže se da je izolovana singularna tačka: 1) uklonjiva ako postoji konačna 2) pmusach ako 3) suštinski singularna tačka ako funkcija f(z) nema ograničenja na Tip izolovane singularne tačke je usko povezan sa priroda Laurentove ekspanzije funkcije po probijenom centru . Teorema 16. Izolovana singularna tačka z0 funkcije f(z) je uklonjiva singularna tačka ako i samo ako Laurentova ekspanzija funkcije f(z) u okolini tačke zo ne sadrži glavni dio, tj. ima oblik Neka je zo uklonjiva singularna tačka. Tada postoji konačna, dakle, funkcija f(z) je ograničena u prokološkoj okolini tačke z. Na osnovu Cauchyjevih nejednakosti postavljamo p. - 20) jednaki su nuli: Obrnuto, neka Loranova ekspanzija funkcije /(r) u susjedstvu tačke zq sadrži samo ispravan dio, odnosno ima oblik (23) i stoga je Taylor. Lako je vidjeti da za z -* z0 funkcija /(z) ima graničnu vrijednost: Teorema 17. Izolovana singularna tačka zq funkcije f(z) je uklonjiva ako i samo ako je funkcija J(z) omeđen u nekom probušenom okruženju tačke zq, Zgmechai nije. Neka je r uklonjiva singularna tačka funkcije /(r). Uz pretpostavku da je funkcija /(r) analitična u nekom krugu sa centrom u tački r. Ovo određuje naziv tačke - uklonjiv. Teorema 18. Izolovana singularna točka zq funkcije f(z) je pol ako i samo ako glavni dio Laurentove ekspanzije funkcije f(z) u susjedstvu tačke sadrži konačan (i pozitivan) broj nenultih članova, tj. e ima oblik 4 Neka je z0 pol. Od tada postoji probušena okolina tačke z0 u kojoj je funkcija f(z) analitička i različita od nule. Tada je u ovom susjedstvu definirana analitička funkcija i Prema tome, tačka zq je uklonjiva singularna tačka (nula) funkcije ili gdje je h(z) analitička funkcija, h(z0) Φ 0. Tada je h(zo) Φ 0 je također analitična, onda je funkcija φ analitična u susjedstvu tačke zq, i stoga, odakle dobijamo da Pretpostavimo sada da funkcija f(z) ima ekspanziju oblika (24) u probijenoj okolini od tačka zo. To znači da je u ovom susjedstvu funkcija f(z) analitička zajedno sa funkcijom. Za funkciju g(z) vrijedi proširenje, iz čega se može vidjeti da je zq uklonjiva singularna tačka funkcije g(z) i postoji onda funkcija na 0 ima tendenciju da bude pol funkcije je još jedna jednostavna činjenica. Tačka Zq je pol funkcije f(z) ako i samo ako se funkcija g(z) = uj može proširiti na analitičku funkciju u susjedstvu tačke zq postavljanjem g(z0) = 0. Redoslijed pola funkcije f(z) naziva se nulti red funkcije jfa. Sljedeća izjava slijedi iz teorema 16 i 18. Teorema 19. Izolovana singularna tačka je suštinski singularna ako i samo ako glavni dio Lorentove ekspanzije u probijenoj okolini ove tačke sadrži beskonačno mnogo članova koji nisu nula. Primjer 5. Singularna tačka funkcije je zo = 0. Imamo izolovane singularne tačke Laurentovog reda i njihovu klasifikaciju. Dakle, zo = O je uklonjiva singularna tačka. Proširivanje funkcije /(z) u Lorentov red u blizini nulte tačke sadrži samo tačan dio: Primjer7. /(z) = Singularna tačka funkcije f(z) je zq = 0. Razmotrimo ponašanje ove funkcije na realnoj i imaginarnoj osi: na realnoj osi na x 0, na imaginarnoj osi Prema tome, postoji nije ni konačna ni beskonačna granica za f(z) na z -* 0 ne postoji. To znači da je tačka r = 0 suštinski singularna tačka funkcije f(z). Nađimo Lorentovu ekspanziju funkcije f(z) u blizini nulte tačke. Za bilo koji kompleks C imamo Set. Tada Laurentova ekspanzija sadrži beskonačan broj članova sa negativnim potencijama z.