Ψυχολογία

Χρυσό τρίγωνο στη χρυσή τομή. Εγχειρίδιο οδηγιών: Golden Ratio

Αυτή η αρμονία είναι εντυπωσιακή στην κλίμακα της...

Γεια σας φίλοι!

Έχετε ακούσει τίποτα για τη Θεία Αρμονία ή τη Χρυσή Αναλογία; Έχετε σκεφτεί ποτέ γιατί κάτι μας φαίνεται ιδανικό και όμορφο, αλλά κάτι μας απωθεί;

Αν όχι, τότε ήρθατε με επιτυχία σε αυτό το άρθρο, γιατί σε αυτό θα συζητήσουμε τη χρυσή τομή, θα μάθουμε τι είναι, πώς μοιάζει στη φύση και στους ανθρώπους. Ας μιλήσουμε για τις αρχές της, μάθουμε τι είναι η σειρά Fibonacci και πολλά άλλα, συμπεριλαμβανομένης της έννοιας του χρυσού ορθογωνίου και της χρυσής σπείρας.

Ναι, το άρθρο έχει πολλές εικόνες, τύπους, άλλωστε η χρυσή τομή είναι και μαθηματικά. Όλα όμως περιγράφονται σε αρκετά απλή γλώσσα, ξεκάθαρα. Και στο τέλος του άρθρου, θα μάθετε γιατί όλοι αγαπούν τόσο πολύ τις γάτες =)

Ποια είναι η χρυσή τομή;

Για να το θέσω απλά, η χρυσή τομή είναι ένας συγκεκριμένος κανόνας αναλογίας που δημιουργεί αρμονία;. Δηλαδή, αν δεν παραβιάσουμε τους κανόνες αυτών των αναλογιών, τότε παίρνουμε μια πολύ αρμονική σύνθεση.

Ο πιο περιεκτικός ορισμός της χρυσής αναλογίας δηλώνει ότι το μικρότερο μέρος σχετίζεται με το μεγαλύτερο, όπως το μεγαλύτερο μέρος είναι με το σύνολο.

Αλλά εκτός από αυτό, η χρυσή τομή είναι τα μαθηματικά: έχει έναν συγκεκριμένο τύπο και έναν συγκεκριμένο αριθμό. Πολλοί μαθηματικοί, γενικά, το θεωρούν ως τύπο της θεϊκής αρμονίας και το αποκαλούν «ασύμμετρη συμμετρία».

Η χρυσή τομή έφτασε στους σύγχρονούς μας από την εποχή της Αρχαίας Ελλάδας, ωστόσο, υπάρχει η άποψη ότι οι ίδιοι οι Έλληνες είχαν ήδη κατασκοπεύσει τη χρυσή τομή μεταξύ των Αιγυπτίων. Επειδή πολλά έργα τέχνης της Αρχαίας Αιγύπτου είναι ξεκάθαρα κατασκευασμένα σύμφωνα με τους κανόνες αυτής της αναλογίας.

Πιστεύεται ότι ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που εισήγαγε την έννοια της χρυσής τομής. Τα έργα του Ευκλείδη έχουν διασωθεί μέχρι σήμερα (χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή για να κατασκευάσει κανονικά πεντάγωνα, γι' αυτό ένα τέτοιο πεντάγωνο ονομάζεται "χρυσό"), και ο αριθμός της χρυσής αναλογίας πήρε το όνομά του από τον αρχαίο Έλληνα αρχιτέκτονα Φειδία. Δηλαδή, αυτός είναι ο αριθμός μας «φι» (που συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ), και ισούται με 1,6180339887498948482... Φυσικά, αυτή η τιμή στρογγυλοποιείται: φ = 1,618 ή φ = 1,62, και σε ποσοστιαίες τιμές η χρυσή αναλογία μοιάζει με 62% και 38%.

Τι είναι μοναδικό σε αυτή την αναλογία (και πιστέψτε με, υπάρχει); Ας προσπαθήσουμε πρώτα να το καταλάβουμε χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα τμήματος. Έτσι, παίρνουμε ένα τμήμα και το χωρίζουμε σε άνισα μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε το μικρότερο μέρος του να σχετίζεται με το μεγαλύτερο, όπως το μεγαλύτερο μέρος να σχετίζεται με το σύνολο. Καταλαβαίνω, δεν είναι ακόμα πολύ σαφές τι είναι, θα προσπαθήσω να το δείξω πιο ξεκάθαρα χρησιμοποιώντας το παράδειγμα τμημάτων:

Έτσι, παίρνουμε ένα τμήμα και το χωρίζουμε σε δύο άλλα, έτσι ώστε το μικρότερο τμήμα a να σχετίζεται με το μεγαλύτερο τμήμα b, όπως το τμήμα b σχετίζεται με το σύνολο, δηλαδή ολόκληρη την ευθεία (a + b). Μαθηματικά μοιάζει με αυτό:

Αυτός ο κανόνας λειτουργεί επ' αόριστον, μπορείτε να διαιρέσετε τμήματα όσο θέλετε. Και δείτε πόσο απλό είναι. Το κύριο πράγμα είναι να καταλάβουμε μια φορά και αυτό είναι.

Ας δούμε όμως τώρα ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα, το οποίο συναντάμε πολύ συχνά, αφού η χρυσή τομή αναπαρίσταται επίσης με τη μορφή ενός χρυσού ορθογωνίου (ο λόγος διαστάσεων του οποίου είναι φ = 1,62). Αυτό είναι ένα πολύ ενδιαφέρον ορθογώνιο: αν «κόψουμε» ένα τετράγωνο από αυτό, θα πάρουμε πάλι ένα χρυσό ορθογώνιο. Και ούτω καθεξής ατελείωτα πολλές φορές. Βλέπω:

Αλλά τα μαθηματικά δεν θα ήταν μαθηματικά αν δεν είχαν τύπους. Λοιπόν, φίλοι, τώρα θα "πονέσει" λίγο. Έκρυψα τη λύση στη χρυσή τομή κάτω από ένα σπόιλερ, υπάρχουν πολλοί τύποι, αλλά δεν θέλω να αφήσω το άρθρο χωρίς αυτούς.

Σειρά Fibonacci και χρυσή τομή

Συνεχίζουμε να δημιουργούμε και να παρατηρούμε τη μαγεία των μαθηματικών και τη χρυσή τομή. Στο Μεσαίωνα υπήρχε ένας τέτοιος σύντροφος - ο Fibonacci (ή Fibonacci, το γράφουν διαφορετικά παντού). Αγαπούσε τα μαθηματικά και τα προβλήματα, είχε επίσης ένα ενδιαφέρον πρόβλημα με την αναπαραγωγή κουνελιών =) Αλλά δεν είναι αυτό το θέμα. Ανακάλυψε μια ακολουθία αριθμών, οι αριθμοί σε αυτήν ονομάζονται «αριθμοί Fibonacci».

Η ίδια η σειρά μοιάζει με αυτό:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... και ούτω καθεξής επί άπειρον.

Με άλλα λόγια, η ακολουθία Fibonacci είναι μια ακολουθία αριθμών όπου κάθε επόμενος αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων.

Τι σχέση έχει η χρυσή τομή; Θα δεις τώρα.

Σπείρα Fibonacci

Για να δείτε και να νιώσετε ολόκληρη τη σύνδεση μεταξύ της σειράς αριθμών Fibonacci και της χρυσής αναλογίας, πρέπει να δείτε ξανά τους τύπους.

Με άλλα λόγια, από τον 9ο όρο της ακολουθίας Fibonacci αρχίζουμε να λαμβάνουμε τις τιμές της χρυσής αναλογίας. Και αν οραματιστούμε ολόκληρη αυτή την εικόνα, θα δούμε πώς η ακολουθία Fibonacci δημιουργεί ορθογώνια όλο και πιο κοντά στο χρυσό ορθογώνιο. Αυτή είναι η σύνδεση.

Τώρα ας μιλήσουμε για τη σπείρα Fibonacci, που ονομάζεται επίσης "χρυσή σπείρα".

Η χρυσή σπείρα είναι μια λογαριθμική σπείρα της οποίας ο συντελεστής ανάπτυξης είναι ίσος με φ4, όπου φ είναι η χρυσή αναλογία.

Γενικά, από μαθηματική άποψη, η χρυσή τομή είναι ιδανική αναλογία. Αλλά αυτή είναι μόνο η αρχή των θαυμάτων της. Σχεδόν ολόκληρος ο κόσμος υπόκειται στις αρχές της χρυσής τομής που η ίδια δημιούργησε αυτή την αναλογία. Ακόμη και οι εσωτεριστές βλέπουν αριθμητική δύναμη σε αυτό. Αλλά σίγουρα δεν θα μιλήσουμε για αυτό σε αυτό το άρθρο, οπότε για να μην χάσετε τίποτα, μπορείτε να εγγραφείτε σε ενημερώσεις ιστότοπου.

Χρυσή τομή στη φύση, τον άνθρωπο, την τέχνη

Πριν ξεκινήσουμε, θα ήθελα να διευκρινίσω μια σειρά από ανακρίβειες. Πρώτον, ο ίδιος ο ορισμός της χρυσής αναλογίας σε αυτό το πλαίσιο δεν είναι απολύτως σωστός. Το γεγονός είναι ότι η ίδια η έννοια της "τομής" είναι ένας γεωμετρικός όρος, που δηλώνει πάντα ένα επίπεδο, αλλά όχι μια ακολουθία αριθμών Fibonacci.

Και, δεύτερον, οι σειρές αριθμών και η αναλογία του ενός προς το άλλο, φυσικά, έχουν μετατραπεί σε ένα είδος στένσιλ που μπορεί να εφαρμοστεί σε οτιδήποτε φαίνεται ύποπτο και μπορεί κανείς να είναι πολύ χαρούμενος όταν υπάρχουν συμπτώσεις, αλλά ακόμα , η κοινή λογική δεν πρέπει να χαθεί.

Ωστόσο, «τα πάντα ανακατεύτηκαν στο βασίλειό μας» και το ένα έγινε συνώνυμο του άλλου. Άρα, σε γενικές γραμμές, δεν χάνεται το νόημα από αυτό. Τώρα ας πάμε στη δουλειά.

Θα εκπλαγείτε, αλλά η χρυσή τομή, ή μάλλον οι αναλογίες όσο το δυνατόν πιο κοντά σε αυτήν, φαίνεται σχεδόν παντού, ακόμα και στον καθρέφτη. Δεν με πιστεύεις; Ας ξεκινήσουμε με αυτό.

Ξέρετε, όταν μάθαινα να ζωγραφίζω, μας εξήγησαν πόσο πιο εύκολο είναι να χτίσεις το πρόσωπο, το σώμα του και ούτω καθεξής. Όλα πρέπει να υπολογίζονται σε σχέση με κάτι άλλο.

Όλα, απολύτως όλα είναι ανάλογα: τα οστά, τα δάχτυλά μας, οι παλάμες, οι αποστάσεις στο πρόσωπο, η απόσταση των τεντωμένων χεριών σε σχέση με το σώμα κ.ο.κ. Αλλά ακόμα και αυτό δεν είναι όλο, η εσωτερική δομή του σώματός μας, ακόμα κι αυτή, είναι ίση ή σχεδόν ίση με τη φόρμουλα της χρυσής τομής. Εδώ είναι οι αποστάσεις και οι αναλογίες:

από τους ώμους μέχρι την κορώνα έως το μέγεθος του κεφαλιού = 1:1.618

από τον αφαλό μέχρι το στέμμα στο τμήμα από τους ώμους μέχρι το στέμμα = 1:1.618

από τον αφαλό μέχρι τα γόνατα και από τα γόνατα στα πόδια = 1:1.618

από το πηγούνι στο ακραίο σημείο του άνω χείλους και από αυτό στη μύτη = 1:1,618

Δεν είναι καταπληκτικό αυτό!? Η αρμονία στην πιο αγνή της μορφή, τόσο μέσα όσο και έξω. Και γι' αυτό, σε κάποιο υποσυνείδητο επίπεδο, κάποιοι άνθρωποι δεν μας φαίνονται όμορφοι, ακόμα κι αν έχουν γερό, τονισμένο σώμα, βελούδινο δέρμα, όμορφα μαλλιά, μάτια κ.λπ., και οτιδήποτε άλλο. Αλλά, παρόλα αυτά, η παραμικρή παραβίαση των αναλογιών του σώματος και η εμφάνιση ήδη "πληγώνει τα μάτια".

Με λίγα λόγια, όσο πιο όμορφος μας φαίνεται ένας άνθρωπος, τόσο πιο κοντά είναι οι αναλογίες του στο ιδανικό. Και αυτό, παρεμπιπτόντως, μπορεί να αποδοθεί όχι μόνο στο ανθρώπινο σώμα.

Χρυσή αναλογία στη φύση και τα φαινόμενα της

Κλασικό παράδειγμα της χρυσής τομής στη φύση είναι το κέλυφος του μαλακίου Nautilus pompilius και ο αμμωνίτης. Αλλά αυτό δεν είναι μόνο, υπάρχουν πολλά ακόμη παραδείγματα:

Στις μπούκλες του ανθρώπινου αυτιού μπορούμε να δούμε μια χρυσή σπείρα.

είναι το ίδιο (ή κοντά του) στις σπείρες κατά μήκος των οποίων συστρέφονται οι γαλαξίες.

και στο μόριο του DNA?

Σύμφωνα με τη σειρά Fibonacci, το κέντρο ενός ηλίανθου είναι διατεταγμένο, οι κώνοι μεγαλώνουν, η μέση των λουλουδιών, ένας ανανάς και πολλά άλλα φρούτα.

Φίλοι, υπάρχουν τόσα πολλά παραδείγματα που απλώς θα αφήσω το βίντεο εδώ (είναι ακριβώς από κάτω) για να μην υπερφορτώνω το άρθρο με κείμενο. Γιατί αν σκάψετε σε αυτό το θέμα, μπορείτε να πάτε πιο βαθιά στην ακόλουθη ζούγκλα: ακόμη και οι αρχαίοι Έλληνες απέδειξαν ότι το Σύμπαν και, γενικά, όλος ο χώρος σχεδιάζεται σύμφωνα με την αρχή της χρυσής τομής.

Θα εκπλαγείτε, αλλά αυτοί οι κανόνες μπορούν να βρεθούν ακόμη και στον ήχο. Βλέπω:

Το υψηλότερο σημείο ήχου που προκαλεί πόνο και ενόχληση στα αυτιά μας είναι 130 ντεσιμπέλ.

Διαιρούμε την αναλογία 130 με τη χρυσή αναλογία φ = 1,62 και παίρνουμε 80 ντεσιμπέλ - τον ήχο μιας ανθρώπινης κραυγής.

Συνεχίζουμε να διαιρούμε αναλογικά και παίρνουμε, ας πούμε, τον κανονικό όγκο της ανθρώπινης ομιλίας: 80 / φ = 50 ντεσιμπέλ.

Λοιπόν, ο τελευταίος ήχος που λαμβάνουμε χάρη στη φόρμουλα είναι ένας ευχάριστος ήχος ψιθύρου = 2,618.

Χρησιμοποιώντας αυτήν την αρχή, είναι δυνατός ο προσδιορισμός των βέλτιστων-άνετων, ελάχιστων και μέγιστων αριθμών θερμοκρασίας, πίεσης και υγρασίας. Δεν το έχω δοκιμάσει και δεν ξέρω πόσο αληθινή είναι αυτή η θεωρία, αλλά πρέπει να συμφωνήσετε, ακούγεται εντυπωσιακό.

Μπορεί κανείς να διαβάσει την υψηλότερη ομορφιά και αρμονία σε απολύτως οτιδήποτε ζωντανό και μη.

Το κυριότερο είναι να μην παρασυρθούμε με αυτό, γιατί αν θέλουμε να δούμε κάτι σε κάτι, θα το δούμε, ακόμα κι αν δεν υπάρχει. Για παράδειγμα, έδωσα προσοχή στο σχεδιασμό του PS4 και είδα τη χρυσή τομή εκεί =) Ωστόσο, αυτή η κονσόλα είναι τόσο δροσερή που δεν θα εκπλαγώ αν ο σχεδιαστής έκανε πραγματικά κάτι έξυπνο εκεί.

Χρυσή αναλογία στην τέχνη

Αυτό είναι επίσης ένα πολύ μεγάλο και εκτενές θέμα που αξίζει να εξεταστεί ξεχωριστά. Εδώ θα σημειώσω μόνο μερικά βασικά σημεία. Το πιο αξιοσημείωτο είναι ότι πολλά έργα τέχνης και αρχιτεκτονικά αριστουργήματα της αρχαιότητας (και όχι μόνο) έγιναν σύμφωνα με τις αρχές της χρυσής τομής.

Πυραμίδες της Αιγύπτου και των Μάγια, η Παναγία των Παρισίων, ο ελληνικός Παρθενώνας και ούτω καθεξής.

Στα μουσικά έργα του Μότσαρτ, του Σοπέν, του Σούμπερτ, του Μπαχ και άλλων.

Στη ζωγραφική (αυτό φαίνεται ξεκάθαρα): όλοι οι πιο διάσημοι πίνακες διάσημων καλλιτεχνών γίνονται λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες της χρυσής τομής.

Αυτές οι αρχές βρίσκονται στα ποιήματα του Πούσκιν και στην προτομή της όμορφης Νεφερτίτης.

Ακόμη και τώρα, οι κανόνες της χρυσής τομής χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, στη φωτογραφία. Λοιπόν, και φυσικά, σε όλες τις άλλες τέχνες, συμπεριλαμβανομένου του κινηματογράφου και του σχεδιασμού.

Χρυσές γάτες Fibonacci

Και τέλος, για τις γάτες! Έχετε αναρωτηθεί ποτέ γιατί όλοι αγαπούν τόσο πολύ τις γάτες; Έχουν καταλάβει το Διαδίκτυο! Οι γάτες είναι παντού και είναι υπέροχο =)

Και το όλο θέμα είναι ότι οι γάτες είναι τέλειες! Δεν με πιστεύεις; Τώρα θα σας το αποδείξω μαθηματικά!

Βλέπετε? Το μυστικό αποκαλύπτεται! Οι γάτες είναι ιδανικές από την άποψη των μαθηματικών, της φύσης και του σύμπαντος =)

*Αστειεύομαι, φυσικά. Όχι, οι γάτες είναι πραγματικά ιδανικές) Αλλά κανείς δεν τις έχει μετρήσει μαθηματικά, μάλλον.

Αυτό είναι βασικά, φίλοι! Θα τα πούμε στα επόμενα άρθρα. Καλή σου τύχη!

ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ.Εικόνες τραβηγμένες από το medium.com.

Χρυσή αναλογία - αρμονική αναλογία

Κατά την περίοδο ανάπτυξης της αρχιτεκτονικής, όταν τα φυσικά και μηχανικά χαρακτηριστικά των δομικών υλικών μελετήθηκαν ελάχιστα, δεν υπήρχαν αποδεδειγμένες μέθοδοι υπολογισμού των κτιριακών κατασκευών - επικράτησε η εμπειρική εμπειρία και η αυστηρή τήρηση των αρμονικών αναλογιών της «χρυσής τομής».

Στα μαθηματικά η αναλογία (λατ. αναλογία) είναι η ισότητα δύο αναλογιών: α: β = γ: δ.

Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη με τους ακόλουθους τρόπους:
σε δύο ίσα μέρη – AB: AC = AB: BC;
σε δύο άνισα μέρη από οποιαδήποτε άποψη (τέτοια μέρη δεν σχηματίζουν αναλογίες).
Έτσι, όταν AB: AC = AC: BC.

Η τελευταία είναι η χρυσή διαίρεση ή η διαίρεση ενός τμήματος σε ακραία και μέση αναλογία.

Η χρυσή τομή είναι μια αναλογική διαίρεση ενός τμήματος σε άνισα μέρη, στα οποία ολόκληρο το τμήμα σχετίζεται με το μεγαλύτερο μέρος όπως το ίδιο το μεγαλύτερο τμήμα σχετίζεται με το μικρότερο. ή με άλλα λόγια, το μικρότερο τμήμα είναι στο μεγαλύτερο όπως το μεγαλύτερο είναι στο σύνολο

α: β = β: γ ή γ: β = β: α.

Η πρακτική εξοικείωση με τη χρυσή τομή ξεκινά με τη διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος στη χρυσή αναλογία χρησιμοποιώντας πυξίδα και χάρακα.

Από το σημείο Β αποκαθίσταται κάθετος ίση με το μισό ΑΒ. Το σημείο Γ που προκύπτει συνδέεται με μια γραμμή με το σημείο Α. Στη γραμμή που προκύπτει, τοποθετείται ένα τμήμα BC, που τελειώνει με το σημείο D. Το τμήμα AD μεταφέρεται στην ευθεία ΑΒ. Το σημείο Ε που προκύπτει διαιρεί το τμήμα ΑΒ στη χρυσή αναλογία.

Τα τμήματα της χρυσής αναλογίας εκφράζονται με το άπειρο παράλογο κλάσμα AE = 0,618..., αν το AB ληφθεί ως ένα, BE = 0,382... Για πρακτικούς σκοπούς, χρησιμοποιούνται συχνά κατά προσέγγιση τιμές 0,62 και 0,38. Εάν το τμήμα ΑΒ ληφθεί ως 100 μέρη, τότε το μεγαλύτερο μέρος του τμήματος είναι 62 και το μικρότερο τμήμα είναι 38 μέρη.

Οι ιδιότητες της χρυσής αναλογίας περιγράφονται από την εξίσωση:

x2 – x – 1 = 0.

Λύση αυτής της εξίσωσης:

Οι ιδιότητες της χρυσής τομής έχουν δημιουργήσει μια ρομαντική αύρα μυστηρίου και σχεδόν μυστικιστικής λατρείας γύρω από αυτόν τον αριθμό.

Δεύτερη χρυσή τομή

Το βουλγαρικό περιοδικό «Fatherland» (Νο. 10, 1983) δημοσίευσε ένα άρθρο του Τσβετάν Τσέκοφ-Καραντάς «Στη δεύτερη χρυσή τομή», το οποίο ακολουθεί από την κύρια ενότητα και δίνει μια άλλη αναλογία 44:56.

Η διαίρεση γίνεται ως εξής. Το τμήμα ΑΒ διαιρείται αναλογικά με τη χρυσή τομή. Από το σημείο Γ αποκαθίσταται ένα κάθετο CD. Η ακτίνα ΑΒ είναι το σημείο D, το οποίο συνδέεται με μια γραμμή με το σημείο Α. Η ορθή γωνία ACD διαιρείται στο μισό. Τραβιέται μια ευθεία από το σημείο Γ μέχρι την τομή με την ευθεία ΑΔ. Το σημείο Ε διαιρεί το τμήμα AD σε αναλογία 56:44.

Το σχήμα δείχνει τη θέση της γραμμής της δεύτερης χρυσής αναλογίας. Βρίσκεται στο μέσον της γραμμής της χρυσής αναλογίας και της μεσαίας γραμμής του ορθογωνίου.

Χρυσό Τρίγωνο

Για να βρείτε τμήματα της χρυσής αναλογίας της αύξουσας και φθίνουσας σειράς, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πεντάγραμμο.

Για να φτιάξετε ένα πεντάγραμμο, πρέπει να φτιάξετε ένα κανονικό πεντάγωνο. Η μέθοδος κατασκευής του αναπτύχθηκε από τον Γερμανό ζωγράφο και γραφίστα Άλμπρεχτ Ντύρερ (1471...1528). Έστω Ο το κέντρο του κύκλου, Α ένα σημείο του κύκλου και Ε το μέσο του τμήματος ΟΑ. Η κάθετη στην ακτίνα ΟΑ, που αποκαταστάθηκε στο σημείο Ο, τέμνει τον κύκλο στο σημείο Δ. Χρησιμοποιώντας μια πυξίδα, σχεδιάστε το τμήμα CE = ED στη διάμετρο. Το μήκος της πλευράς ενός κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι ίσο με DC. Σχεδιάζουμε τα τμήματα DC στον κύκλο και παίρνουμε πέντε σημεία για να σχεδιάσουμε ένα κανονικό πεντάγωνο. Συνδέουμε τις γωνίες του πενταγώνου μεταξύ τους με διαγώνιες και παίρνουμε ένα πεντάγραμμο. Όλες οι διαγώνιοι του πενταγώνου χωρίζονται μεταξύ τους σε τμήματα που συνδέονται με τη χρυσή τομή.

Κάθε άκρο του πενταγωνικού αστέρα αντιπροσωπεύει ένα χρυσό τρίγωνο. Οι πλευρές του σχηματίζουν γωνία 36° στην κορυφή και η βάση, τοποθετημένη στο πλάι, τη διαιρεί στην αναλογία της χρυσής αναλογίας.

Σχεδιάζουμε ευθεία ΑΒ. Από το σημείο Α τοποθετούμε πάνω του τρεις φορές ένα τμήμα Ο αυθαίρετου μεγέθους, μέσα από το σημείο P που προκύπτει σχεδιάζουμε μια κάθετη στην ευθεία ΑΒ, στην κάθετη δεξιά και αριστερά του σημείου P αφήνουμε τμήματα Ο. Συνδέουμε τα σημεία d και d1 που προκύπτουν με ευθείες γραμμές στο σημείο Α. Αφαιρούμε το τμήμα dd1 στην ευθεία Ad1, λαμβάνοντας το σημείο C. Διαίρεσε τη γραμμή Ad1 αναλογικά με τη χρυσή τομή. Οι γραμμές Ad1 και dd1 χρησιμοποιούνται για την κατασκευή ενός «χρυσού» ορθογωνίου.

Ρύζι. 5. Κατασκευή κανονικού πενταγώνου και πενταγράμμου

Ρύζι. 6. Κατασκευή του χρυσού τριγώνου

Ιστορία της χρυσής τομής

Είναι γενικά αποδεκτό ότι η έννοια της χρυσής διαίρεσης εισήχθη στην επιστημονική χρήση από Πυθαγόρας, αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος και μαθηματικός (VI αι. π.Χ.). Υπάρχει η υπόθεση ότι ο Πυθαγόρας δανείστηκε τις γνώσεις του για τη χρυσή διαίρεση από τους Αιγύπτιους και τους Βαβυλώνιους. Πράγματι, οι αναλογίες της πυραμίδας του Χέοπα, των ναών, των ανάγλυφων, των οικιακών ειδών και των κοσμημάτων από τον τάφο του Τουταγχαμών δείχνουν ότι οι Αιγύπτιοι τεχνίτες χρησιμοποίησαν τις αναλογίες της χρυσής διαίρεσης κατά τη δημιουργία τους. Γάλλος αρχιτέκτονας Λε Κορμπιζιέδιαπίστωσε ότι στο ανάγλυφο από το ναό του Φαραώ Σέτι Α στην Άβυδο και στο ανάγλυφο που απεικονίζει τον Φαραώ Ραμσή, οι αναλογίες των μορφών αντιστοιχούν στις τιμές της χρυσής διαίρεσης. Ο αρχιτέκτονας Khesira, που απεικονίζεται σε ανάγλυφο ξύλινης σανίδας από τάφο που φέρει το όνομά του, κρατά στα χέρια του όργανα μέτρησης στα οποία καταγράφονται οι αναλογίες της χρυσής διαίρεσης.

Οι Έλληνες ήταν επιδέξιοι γεωμέτρους. Δίδαξαν ακόμη και αριθμητική στα παιδιά τους χρησιμοποιώντας γεωμετρικά σχήματα. Το Πυθαγόρειο τετράγωνο και η διαγώνιος αυτού του τετραγώνου αποτέλεσαν τη βάση για την κατασκευή δυναμικών ορθογωνίων.

Πλάτων(427...347 π.Χ.) γνώριζε και για τη χρυσή διαίρεση. Ο διάλογός του" Τίμαιος«είναι αφιερωμένο στις μαθηματικές και αισθητικές απόψεις της Πυθαγόρειας σχολής και, ειδικότερα, στα ζητήματα της χρυσής διαίρεσης.

Η πρόσοψη του αρχαιοελληνικού ναού του Παρθενώνα έχει χρυσές αναλογίες. Κατά τις ανασκαφές του ανακαλύφθηκαν πυξίδες που χρησιμοποιούσαν αρχιτέκτονες και γλύπτες του αρχαίου κόσμου. Η πυξίδα της Πομπηίας (μουσείο στη Νάπολη) περιέχει επίσης τις αναλογίες του χρυσού τμήματος.

Ρύζι. 7. Δυναμικά ορθογώνια

Ρύζι. 8. Αντίκα χρυσή τομή πυξίδα

Στην αρχαία γραμματεία που έφτασε μέχρι σήμερα, η χρυσή διαίρεση αναφέρθηκε για πρώτη φορά στο « Αρχές» Ευκλείδης. Στο 2ο βιβλίο των «Αρχών» δίνεται η γεωμετρική κατασκευή της χρυσής διαίρεσης Μετά τον Ευκλείδη, η μελέτη της χρυσής διαίρεσης έγινε από τον Υψικλή (2ος αι. π.Χ.), τον Πάππο (III αι. μ.Χ.). μεσαιωνική Ευρώπη, με τη χρυσή διαίρεση Γνωριστήκαμε μέσα από τις αραβικές μεταφράσεις των Euclid’s Elements. Ο μεταφραστής J. Campano από τη Ναβάρρα (III αιώνας) έκανε σχόλια για τη μετάφραση. Τα μυστικά του χρυσού τμήματος φυλάσσονταν ζηλότυπα και κρατήθηκαν με απόλυτη μυστικότητα. Ήταν γνωστοί μόνο στους μυημένους.

Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, το ενδιαφέρον για τη χρυσή διαίρεση αυξήθηκε μεταξύ επιστημόνων και καλλιτεχνών λόγω της χρήσης του τόσο στη γεωμετρία όσο και στην τέχνη, ειδικά στην αρχιτεκτονική. Λεονάρντο Ντα Βίντσι, καλλιτέχνης και επιστήμονας, είδε ότι οι Ιταλοί καλλιτέχνες έχουν μεγάλη εμπειρική εμπειρία, αλλά λίγες γνώσεις. Συνέλαβε και άρχισε να γράφει ένα βιβλίο για τη γεωμετρία, αλλά εκείνη την εποχή εμφανίστηκε το βιβλίο ενός μοναχού Λούκα Πατσιόλι, και ο Λεονάρντο εγκατέλειψε την ιδέα του. Σύμφωνα με συγχρόνους και ιστορικούς της επιστήμης, ο Luca Pacioli ήταν ένας πραγματικός φωτιστής, ο μεγαλύτερος μαθηματικός της Ιταλίας στην περίοδο μεταξύ Fibonacci και Galileo. Ο Luca Pacioli ήταν μαθητής του καλλιτέχνη Piero della Franceschi, ο οποίος έγραψε δύο βιβλία, το ένα από τα οποία ονομαζόταν «On Perspective in Painting». Θεωρείται ο δημιουργός της περιγραφικής γεωμετρίας.

Ο Λούκα Πατσιόλι κατανοούσε τέλεια τη σημασία της επιστήμης για την τέχνη. Το 1496, μετά από πρόσκληση του Δούκα του Μορώ, ήρθε στο Μιλάνο, όπου έδωσε διαλέξεις για τα μαθηματικά. Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι εργαζόταν επίσης στο Μιλάνο στο δικαστήριο του Μόρο εκείνη την εποχή. Το 1509, το βιβλίο του Λούκα Πατσιόλι «Η Θεία Αναλογία» εκδόθηκε στη Βενετία με έξοχα εκτελεσμένες εικονογραφήσεις, γι' αυτό και πιστεύεται ότι έγιναν από τον Λεονάρντο ντα Βίντσι. Το βιβλίο ήταν ένας ενθουσιώδης ύμνος στη χρυσή τομή. Ανάμεσα στα πολλά πλεονεκτήματα της χρυσής αναλογίας, ο μοναχός Luca Pacioli δεν παρέλειψε να ονομάσει τη «θεϊκή ουσία» της ως έκφραση της θείας τριάδας - Θεός ο γιος, Θεός ο πατέρας και Θεός το άγιο πνεύμα (υποδηλώθηκε ότι το μικρό Το τμήμα είναι η προσωποποίηση του Θεού ο γιος, το μεγαλύτερο τμήμα είναι ο θεός του πατέρα και ολόκληρο το τμήμα - ο Θεός του Αγίου Πνεύματος).

Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι έδωσε επίσης μεγάλη προσοχή στη μελέτη της χρυσής διαίρεσης. Έφτιαξε τμήματα ενός στερεομετρικού σώματος που σχηματιζόταν από κανονικά πεντάγωνα και κάθε φορά έβγαζε ορθογώνια με αναλογίες διαστάσεων στη χρυσή διαίρεση. Ως εκ τούτου, έδωσε σε αυτή τη διαίρεση την ονομασία χρυσή τομή. Έτσι παραμένει ως το πιο δημοφιλές.

Την ίδια περίοδο, στη βόρεια Ευρώπη, στη Γερμανία, δούλευε τα ίδια προβλήματα Άλμπρεχτ Ντύρερ. Σκιαγραφεί την εισαγωγή στην πρώτη έκδοση της πραγματείας για τις αναλογίες. Γράφει ο Dürer. «Είναι απαραίτητο κάποιος που ξέρει πώς να κάνει κάτι να το διδάξει σε άλλους που το χρειάζονται. Αυτό αποφάσισα να κάνω».

Κρίνοντας από μια από τις επιστολές του Dürer, συναντήθηκε με τον Luca Pacioli ενώ βρισκόταν στην Ιταλία. Ο Άλμπρεχτ Ντύρερ αναπτύσσει λεπτομερώς τη θεωρία των αναλογιών του ανθρώπινου σώματος. Ο Dürer έδωσε μια σημαντική θέση στο σύστημα των σχέσεών του στη χρυσή τομή. Το ύψος ενός ατόμου διαιρείται σε χρυσές αναλογίες από τη γραμμή της ζώνης, καθώς και από μια γραμμή που τραβιέται από τις άκρες των μεσαίων δακτύλων των χαμηλών χεριών, το κάτω μέρος του προσώπου από το στόμα κ.λπ. Η αναλογική πυξίδα του Dürer είναι γνωστή.

Μεγάλος αστρονόμος του 16ου αιώνα. Γιόχαν Κέπλερονόμασε τη χρυσή τομή έναν από τους θησαυρούς της γεωμετρίας. Ήταν ο πρώτος που επέστησε την προσοχή στη σημασία της χρυσής αναλογίας για τη βοτανική (ανάπτυξη φυτών και δομή τους).

Το Airbrushing βασίζεται στους ίδιους «πυλώνες» με άλλες μορφές τέχνης.

Ολόκληρος ο κόσμος μας μπορεί να περιγραφεί με αριθμούς. Πολλοί αριθμοί παίζουν τόσο σημαντικό ρόλο σε αυτήν την περιγραφή που έχουν τα δικά τους ονόματα: Pi, εκθέτης (e) κ.λπ. Μεταξύ αυτών των «ονομαστικών» αριθμών υπάρχει κάτι αρκετά αξιοσημείωτο. Σε διαφορετικές εποχές, μαθηματικοί, καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες το ονόμασαν «χρυσό αριθμό», «θείο αριθμό» και «θείο τμήμα». Ο όρος «χρυσή αναλογία» επινοήθηκε από τον Κλαύδιο Πτολεμαίο και έγινε δημοφιλής χάρη στον Λεονάρντο Ντα Βίντσι., ο οποίος το χρησιμοποίησε εκτενώς στα έργα του. Οι άνθρωποι της τέχνης έχουν παρατηρήσει ότι οι αναλογίες των μορφών που είναι ιδιαίτερα ευχάριστες στο μάτι για αντίληψη βασίζονται στη «χρυσή τομή».

Ποιος είναι λοιπόν αυτός ο αριθμός; Η χρυσή τομή είναι ο αριθμός Phi (Phi) ίσος με 1,61803. Ο αριθμός πήρε το όνομά του από τον μεγάλο αρχαίο Έλληνα γλύπτη Φειδία, ο οποίος τον χρησιμοποιούσε στα γλυπτά του. Πώς να αποδείξετε ξεκάθαρα την αρχή της «χρυσής αναλογίας»; Ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα. Εάν δημιουργήσετε ένα ορθογώνιο, η μία πλευρά του οποίου είναι 1.618 φορές μεγαλύτερη από την άλλη, τότε ο λόγος διαστάσεων που προκύπτει είναι η "χρυσή τομή". Τα πιο κοινά «χρυσά ορθογώνια» στον σύγχρονο κόσμο είναι οι πιστωτικές κάρτες. Το ανθρώπινο σώμα θεωρείται όμορφο και οι αναλογίες του θεωρούνται ιδανικές, εάν η αναλογία μεταξύ των μικρότερων και των μεγαλύτερων μερών του σώματος είναι ίση με την αναλογία μεταξύ του μεγαλύτερου μέρους και του συνόλου, δηλαδή ίση με τον αριθμό Phi.

***
Το πιο διάσημο μαθηματικό έργο της αρχαίας επιστήμης είναι τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Ήταν από το "Principia" που μας ήρθε το γεωμετρικό πρόβλημα "για τη διαίρεση ενός τμήματος σε ακραία και μέση αναλογία". Η οποία είναι η ίδια η «Χρυσή Αναλογία».
Η ουσία της εργασίας είναι η εξής:
Ας διαιρέσουμε το τμήμα AB με το σημείο C με τέτοιο λόγο ώστε το μεγαλύτερο μέρος του τμήματος CB να σχετίζεται με το μικρότερο τμήμα του τμήματος AC όπως το τμήμα AB με το μεγαλύτερο τμήμα του CB, δηλ.

Ας συμβολίσουμε την αναλογία (1,1) με x. Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη ότι AB = AC + CB, η αναλογία (1.1) μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

Αυτό μας δίνει την ακόλουθη αλγεβρική εξίσωση για τον υπολογισμό της απαιτούμενης αναλογίας x:

Χ* = x + 1. (1,2)
x* - τετράγωνο

Από τη «φυσική έννοια» της αναλογίας (1.1) προκύπτει ότι η επιθυμητή λύση της εξίσωσης (1.2) πρέπει να είναι ένας θετικός αριθμός, από τον οποίο προκύπτει ότι η λύση στο πρόβλημα της διαίρεσης ενός τμήματος σε ακραίο και μέσο λόγο είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης (1.2), την οποία συμβολίζουμε με , δηλαδή

Η κατά προσέγγιση τιμή της χρυσής αναλογίας είναι:
= 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203…

ΧΡΥΣΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

Με βάση τις παραπάνω αναλογίες στη γεωμετρία, ορίζονται οι ακόλουθες έννοιες των χρυσών γεωμετρικών σχημάτων:
- χρυσό ορθογώνιο (στο οποίο η αναλογία της μεγαλύτερης πλευράς προς τη μικρότερη είναι ίση με τη χρυσή τομή).
- χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο.
- χρυσή έλλειψη
- χρυσό ισοσκελές τρίγωνο.

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 3:4:5 ονομάζεται "τέλειο", "ιερό" ή "αιγυπτιακό".
Οι δημιουργοί των αιγυπτιακών πυραμίδων επέλεξαν το χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο ως «κύρια γεωμετρική ιδέα» για την πυραμίδα του Χέοπα και το «ιερό» τρίγωνο για την πυραμίδα Khafre.

Πεντάγωνο («πεντάγωνο» - Ελληνικά), κανονικό πεντάγωνο. Αν σχεδιάσουμε όλες τις διαγώνιους στο πεντάγωνο, το αποτέλεσμα είναι ένα πενταγωνικό αστέρι που ονομάζεται πεντάγραμμο ("πενταγράμμων" - ελληνικά: "πέντε" - πέντε και "γραμμά" - γραμμή) ή πεντάλφα.

Το πεντάγραμμο, που κατά τη λαϊκή πίστη ονομάζεται «πόδι της μάγισσας», έπαιξε μεγάλο ρόλο σε όλες τις μαγικές επιστήμες και θεωρήθηκε ως μέσο προστασίας από τα κακά πνεύματα.
Κάθε οκτώ χρόνια, ο πλανήτης Αφροδίτη περιγράφει μια απολύτως κανονική πεντάλφα κατά μήκος του μεγάλου κύκλου της ουράνιας σφαίρας.
Το κτίριο του Πενταγώνου, το στρατιωτικό τμήμα των ΗΠΑ, έχει σχήμα Πενταγώνου.

Το Πεντάγωνο και το Pentacle περιλαμβάνουν μια σειρά από αξιόλογες φιγούρες που έχουν χρησιμοποιηθεί ευρέως σε έργα τέχνης. Ο λεγόμενος νόμος του χρυσού κυπέλλου, τον οποίο χρησιμοποιούσαν αρχαίοι γλύπτες και χρυσοχόοι, είναι ευρέως γνωστός στην αρχαία τέχνη. Το σκιασμένο τμήμα του πενταγώνου δίνει μια σχηματική αναπαράσταση του χρυσού κυπέλλου.

Μια φορά κι έναν καιρό στη Σοβιετική Ένωση υπήρχε ένα κρατικό σήμα ποιότητας, στο οποίο διακρίνονται καθαρά τα μοτίβα του χρυσού κυπέλλου.

Στη ζωντανή φύση είναι ευρέως διαδεδομένες μορφές που βασίζονται στην πενταγωνική συμμετρία - αστερίες, αχινοί, λουλούδια...

ΑΡΜΟΝΙΑ ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΛΟΓΗΣ
(μια σύντομη επισκόπηση της ιστορίας της τέχνης)

Τα σπουδαία έργα των Ελλήνων γλυπτών: Φειδίας, Πολύκτητος, Μύρων, Πραξιτέλης θεωρούνται δικαίως από καιρό το πρότυπο ομορφιάς του ανθρώπινου σώματος, παράδειγμα αρμονικής σωματικής διάπλασης. Στις δημιουργίες τους, οι Έλληνες δάσκαλοι χρησιμοποιούσαν την αρχή της χρυσής αναλογίας. Ένα από τα υψηλότερα επιτεύγματα της κλασικής ελληνικής τέχνης είναι το άγαλμα του Δορυφόρου, που σμιλεύτηκε από τον Πολύκτητο τον 5ο αιώνα π.Χ. μι. Αυτό το άγαλμα θεωρείται το καλύτερο παράδειγμα για την ανάλυση των αναλογιών του ιδανικού ανθρώπινου σώματος, που καθιέρωσαν αρχαίοι Έλληνες γλύπτες, και σχετίζεται άμεσα με τη Χρυσή Αναλογία. M=0,618…
Η Αφροδίτη της Μήλου, άγαλμα της θεάς Αφροδίτης και το πρότυπο της γυναικείας ομορφιάς, είναι ένα από τα καλύτερα μνημεία της ελληνικής γλυπτικής τέχνης.

Ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι χρησιμοποίησε τις αναλογίες της Χρυσής Αναλογίας σε πολλά από τα πιο διάσημα έργα του, με πιο αξιοσημείωτα τον Μυστικό Δείπνο και τη διάσημη La Gioconda.
Οι ερευνητές του πίνακα «La Gioconda» ανακάλυψαν ότι η συνθετική δομή του πίνακα βασίζεται σε δύο χρυσά τρίγωνα, με τις βάσεις τους να αντικρίζουν το ένα το άλλο. Η αρμονική ανάλυση της εικόνας δείχνει ότι η κόρη του αριστερού ματιού, από την οποία διέρχεται ο κατακόρυφος άξονας του καμβά, βρίσκεται στη τομή δύο διχοτόμων του άνω χρυσού τριγώνου, οι οποίες, αφενός, διχοτομούν τις γωνίες στο βάση του χρυσού τριγώνου, και από την άλλη, στα σημεία τομής με τους γοφούς του χρυσού τριγώνου τα τρίγωνα τα χωρίζουν αναλογικά με τη Χρυσή Αναλογία. Έτσι, ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι χρησιμοποίησε στη ζωγραφική του όχι μόνο την αρχή της συμμετρίας, αλλά και τη Χρυσή Αναλογία.

Ο πίνακας «Η Αγία Οικογένεια» του Μιχαήλ Άγγελου αναγνωρίζεται ως ένα από τα αριστουργήματα της δυτικοευρωπαϊκής τέχνης της Αναγέννησης. Η αρμονική ανάλυση έδειξε ότι η σύνθεση του πίνακα βασίζεται σε πεντάλφα.

Οι αναλογίες του αγάλματος του Δαβίδ (του Μιχαήλ Άγγελου) βασίζονται στη Χρυσή Αναλογία.

Εντυπωσιακό δείγμα μπαρόκ αρχιτεκτονικής, ο καθεδρικός ναός Smolny στην Αγία Πετρούπολη προκαλεί ανεξίτηλη εντύπωση. Η Χρυσή Αναλογία φαίνεται και στις βασικές της αναλογίες.

Στον διάσημο πίνακα "Ship Grove" του Ivan Shishkin, είναι ορατά μοτίβα της Χρυσής Αναλογίας. Ένα ηλιόλουστο πεύκο (που στέκεται στο προσκήνιο) χωρίζει την εικόνα οριζόντια με τη Χρυσή Αναλογία. Δεξιά από το πεύκο υπάρχει ένας λόφος που φωτίζεται από τον ήλιο. Χωρίζει την εικόνα κάθετα με τη Χρυσή Αναλογία. Στα αριστερά του κύριου πεύκου υπάρχουν πολλά πεύκα - μπορείτε να συνεχίσετε να διαιρείτε τη Χρυσή Αναλογία οριζόντια στην αριστερή πλευρά της εικόνας. Η παρουσία στην εικόνα φωτεινών κατακόρυφων και οριζόντιων, που την χωρίζουν σε σχέση με τη Χρυσή Αναλογία, της προσδίδει έναν χαρακτήρα ισορροπίας και ηρεμίας.

Η κατασκευή της έδρας του ΟΗΕ στη Νέα Υόρκη ολοκληρώθηκε το 1943. Στη συνέχεια, το κτίριο τράβηξε την προσοχή όλων όχι μόνο ως δημόσιο κτίριο που δημιουργήθηκε με τα πιο σύγχρονα αρχιτεκτονικά μέσα, αλλά και ως το πρώτο παράδειγμα χρήσης μιας συνεχούς ηλιακής οθόνης διαμόρφωσης σε μία από τις προσόψεις. Τα μοτίβα της Χρυσής Τομής είναι επίσης ορατά σε αυτό το κτίριο. Στη σύνθεση του κτιρίου ξεχωρίζουν ξεκάθαρα τρία χρυσά ορθογώνια τοποθετημένα το ένα πάνω στο άλλο, που αποτελούν την κύρια αρχιτεκτονική του ιδέα.

Οποιοδήποτε μουσικό κομμάτι έχει μια χρονική προέκταση και χωρίζεται από ορισμένα «αισθητικά ορόσημα» σε ξεχωριστά μέρη που προσελκύουν την προσοχή και διευκολύνουν την αντίληψη ως σύνολο. Αυτά τα ορόσημα μπορεί να είναι οι δυναμικές και επιτονικές κορυφώσεις ενός μουσικού έργου. Ξεχωριστά χρονικά διαστήματα ενός μουσικού έργου, που συνδέονται με ένα «γεγονός κορύφωσης», κατά κανόνα, είναι στη χρυσή αναλογία. Στα μουσικά έργα διαφόρων συνθετών δεν αναφέρεται συνήθως μόνο μια Χρυσή Αναλογία, αλλά μια ολόκληρη σειρά από παρόμοιες ενότητες. Ο μεγαλύτερος αριθμός έργων στα οποία υπάρχει η Χρυσή Τομή είναι των Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Scriabin (90%), Chopin (92%), Σούμπερτ (91 %).

Αν η μουσική είναι η αρμονική διάταξη των ήχων, τότε η ποίηση είναι η αρμονική διάταξη του λόγου. Ένας καθαρός ρυθμός, μια φυσική εναλλαγή τονισμένων και άτονων συλλαβών, ένας διατεταγμένος μετρητής ποιημάτων και ο συναισθηματικός τους πλούτος κάνουν την ποίηση αδερφή των μουσικών έργων. Η χρυσή τομή στην ποίηση εκδηλώνεται πρώτα απ 'όλα ως η παρουσία μιας συγκεκριμένης στιγμής του ποιήματος (αποκορύφωμα, σημασιολογική καμπή, κύρια ιδέα του έργου) σε μια γραμμή που πέφτει στο σημείο διαίρεσης του συνολικού αριθμού γραμμών του ποιήματος στη χρυσή αναλογία. Έτσι, εάν ένα ποίημα περιέχει 100 γραμμές, τότε το πρώτο σημείο της Χρυσής Αναλογίας πέφτει στην 62η γραμμή (62%), το δεύτερο στην 38η (38%), κ.λπ. Τα έργα του Alexander Sergeevich Pushkin, συμπεριλαμβανομένου του "Eugene Onegin " - η καλύτερη αντιστοιχία στη χρυσή αναλογία! Έργα των Shota Rustaveli και M.Yu. Το Lermontov είναι επίσης κατασκευασμένο σύμφωνα με την αρχή της Χρυσής Τομής.

Μία από τις σύγχρονες μορφές τέχνης είναι ο κινηματογράφος, ο οποίος ενσωματώνει δραματουργία δράσης, ζωγραφικής και μουσικής. Είναι σωστό να αναζητούμε εκδηλώσεις της Χρυσής Αναλογίας σε εξαιρετικά έργα του κινηματογράφου. Ο πρώτος που το έκανε αυτό ήταν ο δημιουργός του αριστουργήματος του παγκόσμιου κινηματογράφου «Θωρηκτό Ποτέμκιν», σκηνοθέτης Σεργκέι Αϊζενστάιν. Κατά την κατασκευή αυτής της εικόνας, κατάφερε να ενσωματώσει τη βασική αρχή της αρμονίας - τη Χρυσή Αναλογία. Όπως σημειώνει ο ίδιος ο Αϊζενστάιν, η κόκκινη σημαία στον ιστό του στασιαστικού θωρηκτού (η κορύφωση της ταινίας) κυματίζει στο σημείο της χρυσής αναλογίας, μετρημένη από το τέλος της ταινίας.

Για πολλές χιλιετίες, η Χρυσή Τομή υπήρξε αντικείμενο θαυμασμού και λατρείας εξαιρετικών επιστημόνων και στοχαστών: Πυθαγόρας, Πλάτωνας, Ευκλείδης, Λούκα Πατσιόλι, Γιοχάνες Κέπλερ, Πάβελ Φλορένσκι...
Επί του παρόντος, η Χρυσή Αναλογία είναι μια πηγή νέων γόνιμων ιδεών στα μαθηματικά και τη θεωρητική φυσική, τη βιολογία και τη βοτανική, τα οικονομικά και την επιστήμη των υπολογιστών...

Το υλικό βασίζεται στο βιβλίο «The Da Vinci Code and Fibonacci Series» των A. Stakhov, A. Sluchenkova, I. Shcherbakov, που δημοσιεύτηκε το 2007, εκδοτικός οίκος «Peter».

Όποιος έχει τουλάχιστον έμμεσα συναντήσει τη γεωμετρία των χωροαντικειμένων στην εσωτερική διακόσμηση και την αρχιτεκτονική, πιθανότατα γνωρίζει καλά την αρχή της χρυσής τομής. Μέχρι πρόσφατα, πριν από αρκετές δεκαετίες, η δημοτικότητα της χρυσής αναλογίας ήταν τόσο υψηλή που πολλοί υποστηρικτές των μυστικιστικών θεωριών και της δομής του κόσμου την αποκαλούν παγκόσμιο αρμονικό κανόνα.

Η ουσία της καθολικής αναλογίας

Παραδόξως διαφορετικό. Ο λόγος για την προκατειλημμένη, σχεδόν μυστικιστική στάση απέναντι σε μια τόσο απλή αριθμητική εξάρτηση ήταν πολλές ασυνήθιστες ιδιότητες:

Ένας μεγάλος αριθμός αντικειμένων στον ζωντανό κόσμο, από ιούς έως ανθρώπους, έχουν βασικές αναλογίες σώματος ή άκρων πολύ κοντά στην τιμή της χρυσής αναλογίας.
Η εξάρτηση 0,63 ή 1,62 είναι τυπική μόνο για βιολογικά πλάσματα και ορισμένους τύπους κρυστάλλων, από ορυκτά έως στοιχεία τοπίου, έχουν εξαιρετικά σπάνια τη γεωμετρία της χρυσής αναλογίας.
Οι χρυσές αναλογίες στη δομή του σώματος αποδείχτηκαν οι πιο βέλτιστες για την επιβίωση πραγματικών βιολογικών αντικειμένων.

Σήμερα, η χρυσή αναλογία βρίσκεται στη δομή του σώματος των ζώων, στα κελύφη και στα κοχύλια των μαλακίων, στις αναλογίες φύλλων, κλαδιών, κορμών και ριζικών συστημάτων ενός αρκετά μεγάλου αριθμού θάμνων και βοτάνων.

Πολλοί οπαδοί της θεωρίας της καθολικότητας της χρυσής τομής έχουν επανειλημμένα προσπαθήσει να αποδείξουν το γεγονός ότι οι αναλογίες της είναι οι βέλτιστες για τους βιολογικούς οργανισμούς στις συνθήκες της ύπαρξής τους.

Η δομή του κελύφους του Astreae Heliotropium, ενός από τα θαλάσσια μαλάκια, δίνεται συνήθως ως παράδειγμα. Το κέλυφος είναι ένα τυλιγμένο κέλυφος ασβεστίτη με γεωμετρία που πρακτικά συμπίπτει με τις αναλογίες της χρυσής αναλογίας.

Ένα πιο κατανοητό και προφανές παράδειγμα είναι ένα συνηθισμένο αυγό κοτόπουλου.

Η αναλογία των κύριων παραμέτρων, δηλαδή η μεγάλη και η μικρή εστίαση, ή οι αποστάσεις από ισαπέχοντα σημεία της επιφάνειας προς το κέντρο βάρους, θα αντιστοιχεί επίσης στη χρυσή τομή. Ταυτόχρονα, το σχήμα του κελύφους του αυγού ενός πτηνού είναι το βέλτιστο για την επιβίωση του πουλιού ως βιολογικού είδους. Σε αυτή την περίπτωση, η αντοχή του κελύφους δεν παίζει σημαντικό ρόλο.

Προς ενημέρωσή σας! Η χρυσή αναλογία, που ονομάζεται επίσης καθολική αναλογία της γεωμετρίας, προέκυψε ως αποτέλεσμα ενός τεράστιου αριθμού πρακτικών μετρήσεων και συγκρίσεων των μεγεθών πραγματικών φυτών, πτηνών και ζώων.

Προέλευση καθολικής αναλογίας

Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί Ευκλείδης και Πυθαγόρας γνώριζαν τη χρυσή τομή της τομής. Σε ένα από τα μνημεία της αρχαίας αρχιτεκτονικής - την πυραμίδα του Χέοπα, η αναλογία πλευρών και βάσης, μεμονωμένα στοιχεία και ανάγλυφα τοίχου κατασκευάζονται σύμφωνα με την καθολική αναλογία.

Η τεχνική της χρυσής τομής χρησιμοποιήθηκε ευρέως στο Μεσαίωνα από καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες, ενώ η ουσία της παγκόσμιας αναλογίας θεωρούνταν ένα από τα μυστικά του σύμπαντος και κρυβόταν προσεκτικά από τον απλό άνθρωπο. Η σύνθεση πολλών πινάκων, γλυπτών και κτιρίων χτίστηκε αυστηρά σύμφωνα με τις αναλογίες της χρυσής τομής.

Η ουσία της παγκόσμιας αναλογίας τεκμηριώθηκε για πρώτη φορά το 1509 από τον Φραγκισκανό μοναχό Luca Pacioli, ο οποίος είχε λαμπρές μαθηματικές ικανότητες. Αλλά η πραγματική αναγνώριση έγινε αφού ο Γερμανός επιστήμονας Zeising διεξήγαγε μια ολοκληρωμένη μελέτη των αναλογιών και της γεωμετρίας του ανθρώπινου σώματος, αρχαίων γλυπτών, έργων τέχνης, ζώων και φυτών.

Στα περισσότερα ζωντανά αντικείμενα, ορισμένες διαστάσεις του σώματος υπόκεινται στις ίδιες αναλογίες. Το 1855, οι επιστήμονες κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι οι αναλογίες της χρυσής τομής είναι ένα είδος προτύπου για την αρμονία του σώματος και της μορφής. Μιλάμε, καταρχήν, για ζωντανά όντα για τη νεκρή φύση, η χρυσή τομή είναι πολύ λιγότερο κοινή.

Πώς να αποκτήσετε τη χρυσή τομή

Η χρυσή τομή θεωρείται πιο εύκολα ως η αναλογία δύο τμημάτων του ίδιου αντικειμένου διαφορετικού μήκους που χωρίζονται από ένα σημείο.

Με απλά λόγια, πόσα μήκη ενός μικρού τμήματος χωράνε μέσα σε ένα μεγάλο ή ο λόγος του μεγαλύτερου τμήματος προς ολόκληρο το μήκος ενός γραμμικού αντικειμένου. Στην πρώτη περίπτωση, η χρυσή αναλογία είναι 0,63, στη δεύτερη περίπτωση η αναλογία διαστάσεων είναι 1,618034.

Στην πράξη, η χρυσή τομή είναι απλώς μια αναλογία, η αναλογία τμημάτων ενός συγκεκριμένου μήκους, πλευρών ενός ορθογωνίου ή άλλων γεωμετρικών σχημάτων, σχετικών ή συζευγμένων διαστάσεων χαρακτηριστικά πραγματικών αντικειμένων.

Αρχικά, οι χρυσές αναλογίες προέκυψαν εμπειρικά χρησιμοποιώντας γεωμετρικές κατασκευές. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι κατασκευής ή εξαγωγής αρμονικής αναλογίας:

Προς ενημέρωσή σας! Σε αντίθεση με την κλασική χρυσή τομή, η αρχιτεκτονική έκδοση συνεπάγεται λόγο διαστάσεων 44:56.

Εάν η τυπική εκδοχή της χρυσής αναλογίας για ζωντανά όντα, πίνακες ζωγραφικής, γραφικά, γλυπτά και αρχαία κτίρια υπολογίστηκε ως 37:63, τότε η χρυσή αναλογία στην αρχιτεκτονική από τα τέλη του 17ου αιώνα άρχισε να χρησιμοποιείται όλο και περισσότερο ως 44:56. Οι περισσότεροι ειδικοί θεωρούν ότι η αλλαγή υπέρ των πιο «τετράγωνων» αναλογιών είναι η εξάπλωση των πολυώροφων κατασκευών.

Το κύριο μυστικό της χρυσής τομής

Εάν οι φυσικές εκδηλώσεις του παγκόσμιου τμήματος στις αναλογίες των σωμάτων των ζώων και των ανθρώπων, η βάση του στελέχους των φυτών μπορούν ακόμα να εξηγηθούν από την εξέλιξη και την προσαρμοστικότητα στην επίδραση του εξωτερικού περιβάλλοντος, τότε η ανακάλυψη της χρυσής τομής στην κατασκευή των σπιτιών του 12ου-19ου αιώνα ήταν μια βέβαιη έκπληξη. Επιπλέον, ο περίφημος αρχαίος ελληνικός Παρθενώνας χτίστηκε σύμφωνα με οικουμενικές αναλογίες, πολλά σπίτια και κάστρα πλούσιων ευγενών και πλουσίων κατά τον Μεσαίωνα χτίστηκαν σκόπιμα με παραμέτρους πολύ κοντά στη χρυσή τομή.

Χρυσή αναλογία στην αρχιτεκτονική

Πολλά από τα κτίρια που σώζονται μέχρι σήμερα δείχνουν ότι οι αρχιτέκτονες του Μεσαίωνα γνώριζαν την ύπαρξη της χρυσής αναλογίας και, φυσικά, όταν έχτιζαν ένα σπίτι, καθοδηγούνταν από τους πρωτόγονους υπολογισμούς και τις εξαρτήσεις τους, με τη βοήθεια του οποίου προσπάθησαν να επιτύχουν τη μέγιστη δύναμη. Η επιθυμία να χτιστούν τα πιο όμορφα και αρμονικά σπίτια ήταν ιδιαίτερα εμφανής σε κτίρια κατοικιών βασιλέων, εκκλησίες, δημαρχεία και κτίρια ιδιαίτερης κοινωνικής σημασίας στην κοινωνία.

Για παράδειγμα, ο περίφημος καθεδρικός ναός της Παναγίας των Παρισίων έχει πολλά τμήματα και αλυσίδες διαστάσεων στις αναλογίες του που αντιστοιχούν στη χρυσή τομή.

Ακόμη και πριν από τη δημοσίευση της έρευνάς του το 1855 από τον καθηγητή Zeising, στα τέλη του 18ου αιώνα τα περίφημα αρχιτεκτονικά συγκροτήματα του Νοσοκομείου Golitsyn και του κτιρίου της Γερουσίας στην Αγία Πετρούπολη, το σπίτι Pashkov και το παλάτι Petrovsky στη Μόσχα χτίστηκαν χρησιμοποιώντας το αναλογίες της χρυσής τομής.

Φυσικά, τα σπίτια έχουν χτιστεί με αυστηρή τήρηση του κανόνα της χρυσής αναλογίας στο παρελθόν. Αξίζει να αναφερθεί το αρχαίο αρχιτεκτονικό μνημείο της Εκκλησίας της Μεσολάβησης στο Nerl, που φαίνεται στο διάγραμμα.

Όλοι τους ενώνονται όχι μόνο από έναν αρμονικό συνδυασμό μορφών και υψηλής ποιότητας κατασκευής, αλλά και, πρώτα απ 'όλα, από την παρουσία της χρυσής τομής στις αναλογίες του κτιρίου. Η εκπληκτική ομορφιά του κτιρίου γίνεται ακόμη πιο μυστηριώδης αν λάβουμε υπόψη την ηλικία του. αποτέλεσμα αποκατάστασης και ανακατασκευής.

Χαρακτηριστικά της χρυσής αναλογίας για τον άνθρωπο

Η αρχαία αρχιτεκτονική των κτιρίων και των σπιτιών του Μεσαίωνα παραμένει ελκυστική και ενδιαφέρουσα για τους σύγχρονους ανθρώπους για πολλούς λόγους:

Ένα ξεχωριστό καλλιτεχνικό στυλ στο σχεδιασμό των προσόψεων μας επιτρέπει να αποφύγουμε τα μοντέρνα κλισέ και τη θαμπάδα.
Μαζική χρήση για διακόσμηση και διακόσμηση αγαλμάτων, γλυπτών, καλούπια από γυψομάρμαρο, ασυνήθιστους συνδυασμούς οικοδομικών λύσεων από διαφορετικές εποχές.
Οι αναλογίες και η σύνθεση του κτιρίου τραβούν το βλέμμα στα πιο σημαντικά στοιχεία του κτιρίου.

Σπουδαίος! Κατά το σχεδιασμό ενός σπιτιού και την ανάπτυξη της εμφάνισής του, οι μεσαιωνικοί αρχιτέκτονες εφάρμοσαν τον κανόνα της χρυσής τομής, χρησιμοποιώντας ασυνείδητα τις ιδιαιτερότητες της αντίληψης του ανθρώπινου υποσυνείδητου.

Οι σύγχρονοι ψυχολόγοι έχουν πειραματικά αποδείξει ότι η χρυσή τομή είναι μια εκδήλωση της ασυνείδητης επιθυμίας ή αντίδρασης ενός ατόμου σε έναν αρμονικό συνδυασμό ή αναλογία σε μεγέθη, σχήματα και ακόμη και χρώματα. Διεξήχθη ένα πείραμα στο οποίο σε μια ομάδα ανθρώπων που δεν γνώριζαν ο ένας τον άλλον, δεν είχαν κοινά ενδιαφέροντα, διαφορετικά επαγγέλματα και ηλικιακές κατηγορίες, προσφέρθηκαν μια σειρά δοκιμών, μεταξύ των οποίων ήταν το καθήκον να λυγίσουν ένα φύλλο χαρτιού στο μεγαλύτερο μέρος. βέλτιστη αναλογία πλευρών. Με βάση τα αποτελέσματα των δοκιμών, διαπιστώθηκε ότι σε 85 περιπτώσεις από τις 100, το φύλλο λυγίστηκε από τα άτομα σχεδόν ακριβώς σύμφωνα με τη χρυσή τομή.

Επομένως, η σύγχρονη επιστήμη πιστεύει ότι το φαινόμενο της καθολικής αναλογίας είναι ένα ψυχολογικό φαινόμενο και όχι η δράση οποιωνδήποτε μεταφυσικών δυνάμεων.

Χρησιμοποιώντας τον παράγοντα καθολικής διατομής στο μοντέρνο σχεδιασμό και την αρχιτεκτονική

Οι αρχές της χρήσης της χρυσής αναλογίας έχουν γίνει εξαιρετικά δημοφιλείς στην κατασκευή ιδιωτικών κατοικιών τα τελευταία χρόνια. Η οικολογία και η ασφάλεια των οικοδομικών υλικών έχουν αντικατασταθεί από τον αρμονικό σχεδιασμό και τη σωστή κατανομή της ενέργειας στο εσωτερικό του σπιτιού.

Η σύγχρονη ερμηνεία του κανόνα της καθολικής αρμονίας έχει εξαπλωθεί εδώ και καιρό πέρα από τη συνηθισμένη γεωμετρία και σχήμα ενός αντικειμένου. Σήμερα, ο κανόνας υπόκειται όχι μόνο στις διαστασιακές αλυσίδες του μήκους της στοάς και του αετώματος, μεμονωμένα στοιχεία της πρόσοψης και του ύψους του κτιρίου, αλλά και στην περιοχή των δωματίων, των ανοιγμάτων παραθύρων και θυρών, ακόμη και χρωματικό σχέδιο του εσωτερικού του δωματίου.

Ο ευκολότερος τρόπος για να χτίσετε ένα αρμονικό σπίτι είναι σε αρθρωτή βάση. Σε αυτήν την περίπτωση, τα περισσότερα τμήματα και δωμάτια κατασκευάζονται με τη μορφή ανεξάρτητων μπλοκ ή ενοτήτων, σχεδιασμένων σύμφωνα με τον κανόνα της χρυσής αναλογίας. Η κατασκευή ενός κτιρίου με τη μορφή ενός συνόλου αρμονικών μονάδων είναι πολύ πιο εύκολη από την κατασκευή ενός κιβωτίου, στο οποίο το μεγαλύτερο μέρος της πρόσοψης και του εσωτερικού πρέπει να είναι εντός του αυστηρού πλαισίου των αναλογιών της χρυσής αναλογίας.

Πολλές κατασκευαστικές εταιρείες που σχεδιάζουν ιδιωτικά νοικοκυριά χρησιμοποιούν τις αρχές και τις έννοιες της χρυσής αναλογίας για να αυξήσουν την εκτίμηση κόστους και να δώσουν στους πελάτες την εντύπωση ότι ο σχεδιασμός του σπιτιού έχει επεξεργαστεί πλήρως. Κατά κανόνα, ένα τέτοιο σπίτι δηλώνεται ότι είναι πολύ άνετο και αρμονικό στη χρήση. Μια σωστά επιλεγμένη αναλογία περιοχών δωματίων εγγυάται πνευματική άνεση και εξαιρετική υγεία των ιδιοκτητών.

Εάν το σπίτι χτίστηκε χωρίς να ληφθούν υπόψη οι βέλτιστες αναλογίες της χρυσής τομής, μπορείτε να επανασχεδιάσετε τα δωμάτια έτσι ώστε οι αναλογίες του δωματίου να αντιστοιχούν στην αναλογία των τοίχων σε αναλογία 1:1,61. Για να γίνει αυτό, τα έπιπλα μπορούν να μετακινηθούν ή να εγκατασταθούν πρόσθετα χωρίσματα μέσα στα δωμάτια. Με τον ίδιο τρόπο αλλάζουν οι διαστάσεις των ανοιγμάτων παραθύρων και θυρών έτσι ώστε το πλάτος του ανοίγματος να είναι 1,61 φορές μικρότερο από το ύψος του φύλλου της πόρτας. Με τον ίδιο τρόπο πραγματοποιείται σχεδιασμός επίπλων, οικιακών συσκευών, διακόσμησης τοίχων και δαπέδων.

Είναι πιο δύσκολο να επιλέξετε ένα συνδυασμό χρωμάτων. Σε αυτή την περίπτωση, αντί για τη συνήθη αναλογία 63:37, οι οπαδοί του χρυσού κανόνα υιοθέτησαν μια απλοποιημένη ερμηνεία - 2/3. Δηλαδή, το κύριο χρώμα φόντου πρέπει να καταλαμβάνει το 60% του χώρου του δωματίου, όχι περισσότερο από το 30% θα πρέπει να δίνεται στο χρώμα σκίασης και το υπόλοιπο κατανέμεται σε διάφορους σχετικούς τόνους, σχεδιασμένους να βελτιώνουν την αντίληψη του χρωματικού συνδυασμού .

Οι εσωτερικοί τοίχοι του δωματίου χωρίζονται με οριζόντια ζώνη ή περίγραμμα σε ύψος 70 cm, τα εγκατεστημένα έπιπλα πρέπει να είναι ανάλογα με το ύψος των οροφών σύμφωνα με τη χρυσή τομή. Ο ίδιος κανόνας ισχύει για την κατανομή των μηκών, για παράδειγμα, το μέγεθος του καναπέ δεν πρέπει να υπερβαίνει τα 2/3 του μήκους του χωρίσματος και η συνολική επιφάνεια που καταλαμβάνεται από τα έπιπλα σχετίζεται με την επιφάνεια του δωματίου ως 1 :1,61.

Η χρυσή αναλογία είναι δύσκολο να εφαρμοστεί στην πράξη σε μεγάλη κλίμακα λόγω μιας μόνο τιμής διατομής, επομένως, όταν σχεδιάζουν αρμονικά κτίρια, συχνά καταφεύγουν σε μια σειρά αριθμών Fibonacci. Αυτό σας επιτρέπει να επεκτείνετε τον αριθμό των πιθανών επιλογών για αναλογίες και γεωμετρικά σχήματα των κύριων στοιχείων του σπιτιού. Σε αυτή την περίπτωση, μια σειρά αριθμών Fibonacci που διασυνδέονται με μια σαφή μαθηματική σχέση ονομάζεται αρμονική ή χρυσή.

Στη σύγχρονη μέθοδο σχεδιασμού κατοικιών που βασίζεται στην αρχή της χρυσής τομής, εκτός από τη σειρά Fibonacci, χρησιμοποιείται ευρέως η αρχή που προτείνει ο διάσημος Γάλλος αρχιτέκτονας Le Corbusier. Σε αυτή την περίπτωση, το ύψος του μελλοντικού ιδιοκτήτη ή το μέσο ύψος ενός ατόμου επιλέγεται ως η αρχική μονάδα μέτρησης με την οποία υπολογίζονται όλες οι παράμετροι του κτιρίου και του εσωτερικού. Αυτή η προσέγγιση σας επιτρέπει να σχεδιάσετε ένα σπίτι που δεν είναι μόνο αρμονικό, αλλά και πραγματικά ατομικό.

συμπέρασμα

Στην πράξη, σύμφωνα με κριτικές από εκείνους που αποφάσισαν να χτίσουν ένα σπίτι σύμφωνα με τον κανόνα της χρυσής αναλογίας, ένα καλοφτιαγμένο κτίριο αποδεικνύεται πραγματικά αρκετά άνετο για τη ζωή. Αλλά το κόστος του κτιρίου λόγω του ατομικού σχεδιασμού και της χρήσης δομικών υλικών μη τυποποιημένων μεγεθών αυξάνεται κατά 60-70%. Και δεν υπάρχει τίποτα νέο σε αυτή την προσέγγιση, καθώς τα περισσότερα κτίρια του περασμένου αιώνα χτίστηκαν ειδικά για τα μεμονωμένα χαρακτηριστικά των μελλοντικών ιδιοκτητών τους.

Από την αρχαιότητα, οι άνθρωποι ασχολούνταν με το ερώτημα εάν τέτοια άπιαστα πράγματα όπως η ομορφιά και η αρμονία υπόκεινται σε μαθηματικούς υπολογισμούς. Φυσικά, όλοι οι νόμοι της ομορφιάς δεν μπορούν να περιληφθούν σε μερικούς τύπους, αλλά μελετώντας τα μαθηματικά, μπορούμε να ανακαλύψουμε ορισμένα συστατικά της ομορφιάς - τη χρυσή τομή. Το καθήκον μας είναι να μάθουμε ποια είναι η χρυσή τομή και να καθορίσουμε πού βρήκε η ανθρωπότητα τη χρήση της χρυσής τομής.

Πιθανότατα παρατηρήσατε ότι αντιμετωπίζουμε διαφορετικά αντικείμενα και φαινόμενα της περιβάλλουσας πραγματικότητας. Είναι ηευπρέπεια, μπλα ηΗ τυπικότητα και η δυσαναλογία γίνονται αντιληπτές από εμάς ως άσχημες και δημιουργούν μια αποκρουστική εντύπωση. Και αντικείμενα και φαινόμενα που χαρακτηρίζονται από αναλογία, σκοπιμότητα και αρμονία εκλαμβάνονται ως όμορφα και προκαλούν μέσα μας ένα αίσθημα θαυμασμού, χαράς και ανεβάζουν τη διάθεση.

Στις δραστηριότητές του, ένα άτομο συναντά συνεχώς αντικείμενα που βασίζονται στη χρυσή τομή. Υπάρχουν πράγματα που δεν μπορούν να εξηγηθούν. Έρχεσαι λοιπόν σε ένα άδειο παγκάκι και κάθεσαι σε αυτό. Που θα καθίσεις; Στη μέση? Ή μήπως από την ίδια την άκρη; Όχι, πιθανότατα ούτε το ένα ούτε το άλλο. Θα καθίσετε έτσι ώστε η αναλογία του ενός μέρους του πάγκου προς το άλλο σε σχέση με το σώμα σας να είναι περίπου 1,62. Πράγμα απλό, απολύτως ενστικτώδες... Καθισμένος σε ένα παγκάκι, αναπαρήγαγες τη “χρυσή τομή”.

Η χρυσή τομή ήταν γνωστή στην αρχαία Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα, στην Ινδία και την Κίνα. Ο μεγάλος Πυθαγόρας δημιούργησε ένα κρυφό σχολειό όπου μελετήθηκε η μυστική ουσία της «χρυσής τομής». Ο Ευκλείδης το χρησιμοποίησε όταν δημιούργησε τη γεωμετρία του και ο Φειδίας - τα αθάνατα γλυπτά του. Ο Πλάτων είπε ότι το Σύμπαν είναι διατεταγμένο σύμφωνα με τη «χρυσή τομή». Ο Αριστοτέλης βρήκε μια αντιστοιχία μεταξύ της «χρυσής τομής» και του ηθικού νόμου. Την υψηλότερη αρμονία της «χρυσής τομής» θα κηρύξουν ο Λεονάρντο ντα Βίντσι και ο Μιχαήλ Άγγελος, γιατί η ομορφιά και η «χρυσή τομή» είναι ένα και το αυτό πράγμα. Και οι χριστιανοί μύστες θα σχεδιάσουν πεντάγραμμα της «χρυσής τομής» στους τοίχους των μοναστηριών τους, φεύγοντας από τον Διάβολο. Την ίδια στιγμή, οι επιστήμονες -από τον Πατσιόλι μέχρι τον Αϊνστάιν- θα ψάξουν, αλλά δεν θα βρουν ποτέ το ακριβές νόημά του. Είναι ηη τελευταία σειρά μετά την υποδιαστολή είναι 1,6180339887... Ένα παράξενο, μυστηριώδες, ανεξήγητο πράγμα - αυτή η θεϊκή αναλογία συνοδεύει μυστικά όλα τα έμβια όντα. Η άψυχη φύση δεν ξέρει τι είναι η «χρυσή τομή». Αλλά σίγουρα θα δείτε αυτή την αναλογία στις καμπύλες των θαλάσσιων κοχυλιών και στο σχήμα των λουλουδιών, στην εμφάνιση των σκαθαριών και στο όμορφο ανθρώπινο σώμα. Κάθε τι ζωντανό και κάθε τι όμορφο - όλα υπακούουν στον θείο νόμο, του οποίου το όνομα είναι η «χρυσή τομή». Ποια είναι λοιπόν η «χρυσή τομή»; Τι είναι αυτός ο τέλειος, θεϊκός συνδυασμός; Ίσως αυτός είναι ο νόμος της ομορφιάς; Ή είναι ακόμα ένα μυστικό μυστικό; Επιστημονικό φαινόμενο ή ηθική αρχή; Η απάντηση είναι ακόμα άγνωστη. Πιο συγκεκριμένα - όχι, είναι γνωστό. Η «Χρυσή Αναλογία» είναι και τα δύο. Μόνο όχι χωριστά, αλλά ταυτόχρονα... Κι αυτό είναι το αληθινό του μυστήριο, το μεγάλο του μυστικό.

Είναι μάλλον δύσκολο να βρεθεί ένα αξιόπιστο μέτρο για μια αντικειμενική αξιολόγηση της ίδιας της ομορφιάς και η λογική από μόνη της δεν θα το κάνει. Ωστόσο, εδώ θα βοηθήσει η εμπειρία εκείνων για τους οποίους η αναζήτηση της ομορφιάς ήταν το ίδιο το νόημα της ζωής, που την έκαναν επάγγελμά τους. Αυτοί είναι, πρώτα απ' όλα, άνθρωποι της τέχνης, όπως τους λέμε: καλλιτέχνες, αρχιτέκτονες, γλύπτες, μουσικοί, συγγραφείς. Αλλά και αυτοί είναι άνθρωποι των ακριβών επιστημών, κυρίως μαθηματικοί.

Εμπιστευόμενος το μάτι περισσότερο από άλλα αισθητήρια όργανα, ο Άνθρωπος έμαθε πρώτα να διακρίνει τα αντικείμενα γύρω του από το σχήμα τους. Το ενδιαφέρον για το σχήμα ενός αντικειμένου μπορεί να υπαγορεύεται από ζωτική αναγκαιότητα ή μπορεί να προκληθεί από την ομορφιά του σχήματος. Η φόρμα, η οποία βασίζεται σε συνδυασμό συμμετρίας και χρυσής τομής, συμβάλλει στην καλύτερη οπτική αντίληψη και στην εμφάνιση μιας αίσθησης ομορφιάς και αρμονίας. Το σύνολο αποτελείται πάντα από μέρη, μέρη διαφορετικών μεγεθών βρίσκονται σε μια ορισμένη σχέση μεταξύ τους και με το σύνολο. Η αρχή της χρυσής τομής είναι η υψηλότερη εκδήλωση της δομικής και λειτουργικής τελειότητας του συνόλου και των μερών του στην τέχνη, την επιστήμη, την τεχνολογία και τη φύση.

ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΟΣ - ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

Στα μαθηματικά, μια αναλογία είναι η ισότητα δύο αναλογιών:

Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη με τους ακόλουθους τρόπους:

σε δύο ίσα μέρη - AB:AC=AB:BC;
σε δύο άνισα μέρη από οποιαδήποτε άποψη (τέτοια μέρη δεν σχηματίζουν αναλογίες).
Έτσι, όταν AB:AC=AC:BC.

Το τελευταίο είναι η χρυσή διαίρεση (τομή).

Η χρυσή τομή είναι μια τέτοια αναλογική διαίρεση ενός τμήματος σε άνισα μέρη, στο οποίο ολόκληρο το τμήμα σχετίζεται με το μεγαλύτερο μέρος όπως το ίδιο το μεγαλύτερο τμήμα σχετίζεται με το μικρότερο, με άλλα λόγια, το μικρότερο τμήμα σχετίζεται με το μεγαλύτερο ένα καθώς το μεγαλύτερο είναι στο σύνολο

a:b=b:c ή c:b=b:a.

Γεωμετρική εικόνα της χρυσής τομής

Διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος χρησιμοποιώντας τη χρυσή τομή. BC=1/2AB; CD=BC

Τα τμήματα της χρυσής τομής εκφράζονται χωρίς ητο τελικό κλάσμα ΑΕ=0,618..., αν το ΑΒ ληφθεί ως ένα, ΒΕ=0,382... Για πρακτικούς σκοπούς, χρησιμοποιούνται συχνά κατά προσέγγιση τιμές 0,62 και 0,38. Εάν το τμήμα ΑΒ ληφθεί ως 100 μέρη, τότε το μεγαλύτερο μέρος του τμήματος είναι ίσο με 62 και το μικρότερο τμήμα είναι 38 μέρη.

Οι ιδιότητες της χρυσής αναλογίας περιγράφονται από την εξίσωση:

Λύση αυτής της εξίσωσης:

Οι ιδιότητες της χρυσής τομής έχουν δημιουργήσει μια ρομαντική αύρα μυστηρίου και μια σχεδόν μυστικιστική γενιά γύρω από αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, σε ένα κανονικό πεντάκτινο αστέρι, κάθε τμήμα διαιρείται με το τμήμα που το τέμνει στην αναλογία της χρυσής τομής (δηλαδή, η αναλογία του μπλε τμήματος προς το πράσινο, κόκκινο προς μπλε, πράσινο προς μοβ είναι 1,618) .

ΔΕΥΤΕΡΗ ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΙΑ

Αυτή η αναλογία βρίσκεται στην αρχιτεκτονική.

Κατασκευή της δεύτερης χρυσής τομής

Διαίρεση ορθογωνίου με τη γραμμή της δεύτερης χρυσής τομής

ΧΡΥΣΟ ΤΡΙΓΩΝΟ (πεντάγραμμο)

Κατασκευή κανονικού πενταγώνου και πενταγράμμου

Για να φτιάξετε ένα πεντάγραμμο, πρέπει να φτιάξετε ένα κανονικό πεντάγωνο. Η μέθοδος κατασκευής του αναπτύχθηκε από τον Γερμανό ζωγράφο και γραφίστα Άλμπρεχτ Ντύρερ. Έστω Ο το κέντρο του κύκλου, Α ένα σημείο του κύκλου και Ε το μέσο του τμήματος ΟΑ. Η κάθετη στην ακτίνα ΟΑ, που αποκαταστάθηκε στο σημείο Ο, τέμνει τον κύκλο στο σημείο Δ. Χρησιμοποιώντας μια πυξίδα, σχεδιάστε το τμήμα CE=ED στη διάμετρο. Το μήκος της πλευράς ενός κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι ίσο με DC. Σχεδιάζουμε τα τμήματα DC στον κύκλο και παίρνουμε πέντε σημεία για να σχεδιάσουμε ένα κανονικό πεντάγωνο. Συνδέουμε τις γωνίες του πενταγώνου μεταξύ τους με διαγώνιες και παίρνουμε ένα πεντάγραμμο. Όλες οι διαγώνιοι του πενταγώνου χωρίζονται μεταξύ τους σε τμήματα που συνδέονται με τη χρυσή τομή.

Κάθε άκρο του πενταγωνικού αστέρα αντιπροσωπεύει ένα χρυσό τρίγωνο. Οι πλευρές του σχηματίζουν γωνία 36 0 στην κορυφή και η βάση, που βρίσκεται στο πλάι, τη διαιρεί στην αναλογία της χρυσής αναλογίας.

Σχεδιάζουμε ευθεία ΑΒ. Από το σημείο Α τοποθετούμε πάνω του τρεις φορές ένα τμήμα Ο αυθαίρετου μεγέθους, μέσω του προκύπτοντος σημείου P σχεδιάζουμε μια κάθετη στην ευθεία ΑΒ, στην κάθετη δεξιά και αριστερά του σημείου P αφήνουμε τμήματα Ο. συνδέστε τα σημεία d και d 1 που προκύπτουν με ευθείες γραμμές στο σημείο A. Το τμήμα dd 1 το βάζουμε στη γραμμή Ad 1, παίρνοντας το σημείο C. Διαίρεσε τη γραμμή Ad 1 στην αναλογία της χρυσής τομής. Οι γραμμές Ad 1 και dd 1 χρησιμοποιούνται για την κατασκευή ενός «χρυσού» ορθογωνίου.

Κατασκευή του χρυσού τριγώνου

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΛΟΓΗΣ

Πράγματι, οι αναλογίες της πυραμίδας του Χέοπα, των ναών, των οικιακών ειδών και των κοσμημάτων από τον τάφο του Τουταγχαμών δείχνουν ότι οι Αιγύπτιοι τεχνίτες χρησιμοποιούσαν τις αναλογίες της χρυσής διαίρεσης όταν τα δημιούργησαν. Ο Γάλλος αρχιτέκτονας Le Corbusier διαπίστωσε ότι στο ανάγλυφο από το ναό του Φαραώ Seti I στην Άβυδο και στο ανάγλυφο που απεικονίζει τον Φαραώ Ramses, οι αναλογίες των μορφών αντιστοιχούν στις τιμές της χρυσής διαίρεσης. Ο αρχιτέκτονας Khesira, που απεικονίζεται σε ανάγλυφο ξύλινης σανίδας από τάφο που φέρει το όνομά του, κρατά στα χέρια του όργανα μέτρησης στα οποία καταγράφονται οι αναλογίες της χρυσής διαίρεσης.

Δυναμικά ορθογώνια

Για τη χρυσή διαίρεση γνώριζε και ο Πλάτων. Ο Πυθαγόρειος Τίμαιος, στον ομώνυμο διάλογο του Πλάτωνα, λέει: «Είναι αδύνατο δύο πράγματα να ενωθούν τέλεια χωρίς ένα τρίτο, αφού πρέπει να εμφανιστεί ένα πράγμα ανάμεσά τους που θα τα κρατούσε ενωμένα. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί καλύτερα με αναλογία, γιατί εάν τρεις αριθμοί έχουν την ιδιότητα ότι ο μέσος όρος είναι στο μικρότερο όπως ο μεγαλύτερος είναι στον μέσο όρο και, αντιστρόφως, ο μικρότερος είναι στον μέσο όρο καθώς ο μέσος όρος είναι προς το μεγαλύτερο, τότε το η τελευταία και η πρώτη θα είναι μέση, και η μέση - πρώτη και τελευταία. Έτσι, όλα τα απαραίτητα θα είναι τα ίδια, και αφού θα είναι τα ίδια, θα αποτελούν το σύνολο». Ο Πλάτων χτίζει τον γήινο κόσμο χρησιμοποιώντας τρίγωνα δύο τύπων: ισοσκελές και μη ισοσκελές. Θεωρεί ότι το πιο όμορφο ορθογώνιο τρίγωνο είναι αυτό στο οποίο η υποτείνουσα είναι δύο φορές μεγαλύτερη από το μικρότερο από τα σκέλη (ένα τέτοιο ορθογώνιο είναι το μισό του ισόπλευρου, βασικού σχήματος των Βαβυλωνίων, έχει αναλογία 1: 3 1/ 2, που διαφέρει από τη χρυσή τομή κατά περίπου 1/25, και ονομάζεται Χρονομέτρηση «αντίπαλος της χρυσής αναλογίας»). Χρησιμοποιώντας τρίγωνα, ο Πλάτωνας κατασκευάζει τέσσερα κανονικά πολύεδρα, συνδέοντάς τα με τα τέσσερα γήινα στοιχεία (γη, νερό, αέρας και φωτιά). Και μόνο το τελευταίο από τα πέντε υπάρχοντα κανονικά πολύεδρα - το δωδεκάεδρο, και τα δώδεκα από τα οποία είναι κανονικά πεντάγωνα, ισχυρίζεται ότι είναι μια συμβολική εικόνα του ουράνιου κόσμου.

ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟ ΚΑΙ ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ

Η τιμή της ανακάλυψης του δωδεκάεδρου (ή, όπως υποτίθεται, του ίδιου του Σύμπαντος, αυτής της πεμπτουσίας των τεσσάρων στοιχείων, που συμβολίζεται, αντίστοιχα, με το τετράεδρο, το οκτάεδρο, το εικοσάεδρο και τον κύβο) ανήκει στον Ιππάσο, ο οποίος αργότερα πέθανε σε ναυάγιο. Αυτή η φιγούρα αποτυπώνει στην πραγματικότητα πολλές σχέσεις της χρυσής τομής, έτσι στην τελευταία δόθηκε ο κύριος ρόλος στον ουράνιο κόσμο, κάτι στο οποίο επέμεινε αργότερα ο μειοψηφικός αδελφός Luca Pacioli.

Αντίκα πυξίδα χρυσής αναλογίας

Στην αρχαία γραμματεία που έχει φτάσει σε μας, η χρυσή διαίρεση αναφέρθηκε για πρώτη φορά στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Στο 2ο βιβλίο των Στοιχείων δίνεται γεωμετρική κατασκευή της χρυσής διαίρεσης. Μετά τον Ευκλείδη, η μελέτη της χρυσής διαίρεσης έγινε από τους Υψίκλους (2ος αιώνας π.Χ.), τον Πάππο (3ος αιώνας μ.Χ.) και άλλους Στη μεσαιωνική Ευρώπη, γνώρισαν τη χρυσή διαίρεση μέσω των αραβικών μεταφράσεων των Στοιχείων του Ευκλείδη. Ο μεταφραστής J. Campano από τη Ναβάρρα (III αιώνας) έκανε σχόλια για τη μετάφραση. Τα μυστικά του χρυσού τμήματος φυλάσσονταν ζηλότυπα και κρατήθηκαν με απόλυτη μυστικότητα. Ήταν γνωστοί μόνο στους μυημένους.

Στο Μεσαίωνα, το πεντάγραμμο δαιμονοποιήθηκε (όπως, πράγματι, πολλά που θεωρούνταν θεϊκά στον αρχαίο παγανισμό) και βρήκε καταφύγιο στις απόκρυφες επιστήμες. Ωστόσο, η Αναγέννηση φέρνει ξανά στο φως τόσο το πεντάγραμμο όσο και τη χρυσή τομή. Έτσι, κατά την περίοδο εκείνης της καθιέρωσης του ουμανισμού, διαδόθηκε ευρέως ένα διάγραμμα που περιγράφει τη δομή του ανθρώπινου σώματος.

Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι κατέφυγε επίσης επανειλημμένα σε μια τέτοια εικόνα, αναπαράγοντας ουσιαστικά ένα πεντάγραμμο. Η ερμηνεία της: το ανθρώπινο σώμα έχει θεϊκή τελειότητα, επειδή οι αναλογίες που είναι εγγενείς σε αυτό είναι οι ίδιες με την κύρια ουράνια φιγούρα. Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι, ένας καλλιτέχνης και επιστήμονας, είδε ότι οι Ιταλοί καλλιτέχνες είχαν μεγάλη εμπειρική εμπειρία, αλλά λίγη γνώση. Συνέλαβε και άρχισε να γράφει ένα βιβλίο για τη γεωμετρία, αλλά εκείνη την εποχή εμφανίστηκε ένα βιβλίο του μοναχού Luca Pacioli και ο Λεονάρντο εγκατέλειψε την ιδέα του. Σύμφωνα με συγχρόνους και ιστορικούς της επιστήμης, ο Luca Pacioli ήταν ένας πραγματικός φωτιστής, ο μεγαλύτερος μαθηματικός της Ιταλίας στην περίοδο μεταξύ Fibonacci και Galileo. Ο Luca Pacioli ήταν μαθητής του καλλιτέχνη Piero della Franceschi, ο οποίος έγραψε δύο βιβλία, το ένα από τα οποία ονομαζόταν «On Perspective in Painting». Θεωρείται ο δημιουργός της περιγραφικής γεωμετρίας.

Ο Λούκα Πατσιόλι κατανοούσε τέλεια τη σημασία της επιστήμης για την τέχνη.

Το 1496, μετά από πρόσκληση του Δούκα Μορώ, ήρθε στο Μιλάνο, όπου έδωσε διαλέξεις για τα μαθηματικά. Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι εργαζόταν επίσης στο Μιλάνο στο δικαστήριο του Μόρο εκείνη την εποχή. Το 1509, το βιβλίο του Luca Pacioli «On Divine Proportion» (De divina proportion, 1497, εκδόθηκε στη Βενετία το 1509) δημοσιεύτηκε στη Βενετία με έξοχα εκτελεσμένες εικονογραφήσεις, γι' αυτό πιστεύεται ότι έγιναν από τον Leonardo da Vinci. Το βιβλίο ήταν ένας ενθουσιώδης ύμνος στη χρυσή τομή. Υπάρχει μόνο μία τέτοια αναλογία και η μοναδικότητα είναι η υψηλότερη ιδιότητα του Θεού. Ενσαρκώνει την αγία τριάδα. Αυτή η αναλογία δεν μπορεί να εκφραστεί σε προσιτό αριθμό, παραμένει κρυφή και μυστική και αποκαλείται παράλογη από τους ίδιους τους μαθηματικούς (όπως ο Θεός δεν μπορεί να οριστεί ή να εξηγηθεί με λόγια). Ο Θεός δεν αλλάζει ποτέ και αντιπροσωπεύει τα πάντα σε κάθε μέρος του, οπότε η χρυσή τομή για κάθε συνεχή και καθορισμένη ποσότητα (ανεξάρτητα από το αν είναι μεγάλη ή μικρή) είναι η ίδια, ούτε μπορεί να αλλάξει ούτε να γίνει αντιληπτή λόγος. Ο Θεός δημιούργησε την ουράνια αρετή, που αλλιώς ονομάζεται πέμπτη ουσία, με τη βοήθειά της και τέσσερα άλλα απλά σώματα (τέσσερα στοιχεία - γη, νερό, αέρας, φωτιά), και στη βάση τους δημιούργησε κάθε άλλο πράγμα στη φύση. Έτσι η ιερή αναλογία μας, σύμφωνα με τον Πλάτωνα στον Τίμαιο, δίνει τυπική ύπαρξη στον ίδιο τον ουρανό, γιατί του αποδίδεται η εμφάνιση ενός σώματος που ονομάζεται δωδεκάεδρο, το οποίο δεν μπορεί να κατασκευαστεί χωρίς τη χρυσή τομή. Αυτά είναι τα επιχειρήματα του Πατσιόλι.

Την ίδια περίοδο, στη βόρεια Ευρώπη, στη Γερμανία, ο Άλμπρεχτ Ντύρερ δούλευε τα ίδια προβλήματα. Σκιαγραφεί την εισαγωγή στην πρώτη έκδοση της πραγματείας για τις αναλογίες. Ο Dürer γράφει: «Είναι απαραίτητο κάποιος που ξέρει πώς να κάνει κάτι να το διδάξει σε άλλους που το χρειάζονται. Αυτό αποφάσισα να κάνω».

Μεγάλος αστρονόμος του 16ου αιώνα. Ο Johannes Kepler αποκάλεσε τη χρυσή τομή έναν από τους θησαυρούς της γεωμετρίας. Ήταν ο πρώτος που επέστησε την προσοχή στη σημασία της χρυσής αναλογίας για τη βοτανική (ανάπτυξη φυτών και δομή τους).

Ο Κέπλερ ονόμασε τη χρυσή αναλογία αυτοσυνεχιζόμενη «Είναι δομημένη με τέτοιο τρόπο», έγραψε, «ότι οι δύο χαμηλότεροι όροι αυτής της ατελείωτης αναλογίας αθροίζονται στον τρίτο όρο, και τυχόν δύο τελευταίοι όροι, αν προστεθούν μαζί. τον επόμενο όρο, και η ίδια αναλογία παραμένει μέχρι το άπειρο».

Η κατασκευή μιας σειράς τμημάτων της χρυσής αναλογίας μπορεί να γίνει τόσο προς την κατεύθυνση της αύξησης (αύξουσα σειρά) όσο και προς την κατεύθυνση της μείωσης (φθίνουσα σειρά).

Εάν βρίσκεται σε ευθεία γραμμή αυθαίρετου μήκους, αφήστε στην άκρη το τμήμα Μ , τοποθετήστε το τμήμα δίπλα του Μ . Με βάση αυτά τα δύο τμήματα, χτίζουμε μια κλίμακα τμημάτων της χρυσής αναλογίας της αύξουσας και της φθίνουσας σειράς.

Κατασκευή κλίμακας τμημάτων χρυσής αναλογίας

Στους επόμενους αιώνες, ο κανόνας της χρυσής αναλογίας μετατράπηκε σε ακαδημαϊκό κανόνα και όταν, με την πάροδο του χρόνου, ο αγώνας ενάντια στην ακαδημαϊκή ρουτίνα ξεκίνησε στην τέχνη, στον πυρετό του αγώνα «πέταξαν το μωρό με το νερό του μπάνιου». Η χρυσή τομή «ανακαλύφθηκε» ξανά στα μέσα του 19ου αιώνα.

Το 1855, ο Γερμανός ερευνητής της χρυσής τομής, καθηγητής Zeising, δημοσίευσε το έργο του «Αισθητικές Σπουδές». Αυτό που συνέβη με το Zeising ήταν ακριβώς αυτό που έπρεπε αναπόφευκτα να συμβεί σε έναν ερευνητή που θεωρεί ένα φαινόμενο ως τέτοιο, χωρίς σύνδεση με άλλα φαινόμενα. Απολυτοποίησε την αναλογία της χρυσής τομής, δηλώνοντάς την καθολική για όλα τα φαινόμενα της φύσης και της τέχνης. Ο Ζάιζινγκ είχε πολλούς οπαδούς, αλλά υπήρχαν και αντίπαλοι που δήλωναν ότι το δόγμα του για τις αναλογίες ήταν «μαθηματική αισθητική».

Ο Zeising έκανε τρομερή δουλειά. Μέτρησε περίπου δύο χιλιάδες ανθρώπινα σώματα και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η χρυσή τομή εκφράζει τον μέσο στατιστικό νόμο. Η διαίρεση του σώματος με το σημείο του ομφαλού είναι ο πιο σημαντικός δείκτης της χρυσής τομής. Οι αναλογίες του ανδρικού σώματος κυμαίνονται εντός της μέσης αναλογίας 13:8 = 1,625 και είναι κάπως πιο κοντά στη χρυσή τομή από τις αναλογίες του γυναικείου σώματος, σε σχέση με τις οποίες η μέση τιμή της αναλογίας εκφράζεται σε αναλογία 8 :5 = 1,6. Σε ένα νεογέννητο, η αναλογία είναι 1:1 στην ηλικία των 13 ετών είναι 1,6 και στην ηλικία των 21 είναι ίση με αυτή ενός άνδρα. Οι αναλογίες της χρυσής τομής εμφανίζονται επίσης σε σχέση με άλλα μέρη του σώματος - το μήκος του ώμου, του αντιβραχίου και του χεριού, του χεριού και των δακτύλων κ.λπ.

Ο Ζάιζινγκ δοκίμασε την εγκυρότητα της θεωρίας του στα ελληνικά αγάλματα. Ανέπτυξε τις αναλογίες του Apollo Belvedere με τις περισσότερες λεπτομέρειες. Μελετήθηκαν ελληνικά αγγεία, αρχιτεκτονικές κατασκευές διαφόρων εποχών, φυτά, ζώα, αυγά πτηνών, μουσικοί τόνοι και ποιητικοί μετρητές. Ο Zeising έδωσε έναν ορισμό για τη χρυσή τομή και έδειξε πώς εκφράζεται σε ευθύγραμμα τμήματα και σε αριθμούς. Όταν λήφθηκαν οι αριθμοί που εκφράζουν τα μήκη των τμημάτων, ο Zeising είδε ότι αποτελούσαν μια σειρά Fibonacci, η οποία μπορούσε να συνεχιστεί επ 'αόριστον προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση. Το επόμενο βιβλίο του είχε τίτλο «Η Χρυσή Διαίρεση ως Βασικός Μορφολογικός Νόμος στη Φύση και την Τέχνη». Το 1876, ένα μικρό βιβλίο, σχεδόν ένα μπροσούρα, εκδόθηκε στη Ρωσία που περιγράφει αυτό το έργο του Zeising. Ο συγγραφέας κατέφυγε με τα αρχικά Yu.F.V. Αυτή η έκδοση δεν αναφέρει ούτε ένα έργο ζωγραφικής.

Στα τέλη του 19ου - αρχές του 20ου αιώνα. Εμφανίστηκαν πολλές καθαρά φορμαλιστικές θεωρίες σχετικά με τη χρήση της χρυσής τομής σε έργα τέχνης και αρχιτεκτονικής. Με την ανάπτυξη του σχεδιασμού και της τεχνικής αισθητικής, ο νόμος της χρυσής τομής επεκτάθηκε και στη σχεδίαση αυτοκινήτων, επίπλων κ.λπ.

ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

Η χρυσή τομή δεν μπορεί να εξεταστεί από μόνη της, χωριστά, χωρίς σύνδεση με τη συμμετρία. Ο μεγάλος Ρώσος κρυσταλλογράφος G.V. Ο Wolf (1863-1925) θεωρούσε τη χρυσή τομή ως μια από τις εκδηλώσεις συμμετρίας.

Η χρυσή διαίρεση δεν είναι εκδήλωση ασυμμετρίας, κάτι αντίθετο από τη συμμετρία. Σύμφωνα με τις σύγχρονες αντιλήψεις, η χρυσή διαίρεση είναι μια ασύμμετρη συμμετρία. Η επιστήμη της συμμετρίας περιλαμβάνει έννοιες όπως η στατική και η δυναμική συμμετρία. Η στατική συμμετρία χαρακτηρίζει την ειρήνη και την ισορροπία, ενώ η δυναμική συμμετρία χαρακτηρίζει την κίνηση και την ανάπτυξη. Έτσι, στη φύση, η στατική συμμετρία αντιπροσωπεύεται από τη δομή των κρυστάλλων και στην τέχνη χαρακτηρίζει την ειρήνη, την ισορροπία και την ακινησία. Η δυναμική συμμετρία εκφράζει δραστηριότητα, χαρακτηρίζει κίνηση, ανάπτυξη, ρυθμό, είναι απόδειξη ζωής. Η στατική συμμετρία χαρακτηρίζεται από ίσα τμήματα και ίσες τιμές. Η δυναμική συμμετρία χαρακτηρίζεται από αύξηση των τμημάτων ή μείωσή τους και εκφράζεται στις τιμές της χρυσής τομής μιας αυξανόμενης ή φθίνουσας σειράς.

ΣΕΙΡΑ FIBONACCI

Το όνομα του Ιταλού μαθηματικού μοναχού Λεονάρντο της Πίζας, πιο γνωστού ως Φιμπονάτσι, συνδέεται έμμεσα με την ιστορία της χρυσής τομής. Ταξίδεψε πολύ στην Ανατολή και εισήγαγε τους αραβικούς αριθμούς στην Ευρώπη. Το 1202 εκδόθηκε το μαθηματικό του έργο «The Book of the Abacus» (πίνακας μέτρησης), το οποίο συγκέντρωνε όλα τα γνωστά τότε προβλήματα.

Μια σειρά αριθμών 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 κ.λπ. γνωστή ως σειρά Fibonacci. Η ιδιαιτερότητα της ακολουθίας των αριθμών είναι ότι κάθε μέλος της, ξεκινώντας από το τρίτο, ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων 2+3=5. 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 κ.λπ., και ο λόγος των διπλανών αριθμών στη σειρά πλησιάζει τον λόγο της χρυσής διαίρεσης. Άρα, 21:34 = 0,617 και 34:55 = 0,618. Αυτή η αναλογία συμβολίζεται με το σύμβολο F. Μόνο αυτή η αναλογία - 0,618:0,382 - δίνει μια συνεχή διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος στη χρυσή αναλογία, αυξάνοντάς το ή μειώνοντάς το στο άπειρο, όταν το μικρότερο τμήμα σχετίζεται με το μεγαλύτερο ως το μεγαλύτερο είναι στο σύνολο.

Όπως φαίνεται στο κάτω σχήμα, το μήκος κάθε άρθρωσης του δακτύλου σχετίζεται με το μήκος της επόμενης άρθρωσης με την αναλογία F. Η ίδια σχέση εμφανίζεται σε όλα τα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών. Αυτή η σύνδεση είναι κατά κάποιο τρόπο ασυνήθιστη, επειδή το ένα δάχτυλο είναι μακρύτερο από το άλλο χωρίς ορατό σχέδιο, αλλά αυτό δεν είναι τυχαίο, όπως δεν είναι τυχαία τα πάντα στο ανθρώπινο σώμα. Οι αποστάσεις στα δάχτυλα, σημειωμένες από το Α έως το Β έως το Γ έως το Δ έως Ε, σχετίζονται μεταξύ τους με την αναλογία F, όπως και οι φάλαγγες των δακτύλων από το F στο G έως το H.

Ρίξτε μια ματιά σε αυτόν τον σκελετό βατράχου και δείτε πώς κάθε οστό ταιριάζει στο μοτίβο της αναλογίας F όπως ακριβώς στο ανθρώπινο σώμα.

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΗ

Οι επιστήμονες συνέχισαν να αναπτύσσουν ενεργά τη θεωρία των αριθμών Fibonacci και τη χρυσή τομή. Ο Yu Matiyasevich λύνει το 10ο πρόβλημα του Hilbert χρησιμοποιώντας αριθμούς Fibonacci. Εμφανίζονται μέθοδοι για την επίλυση ενός αριθμού κυβερνητικών προβλημάτων (θεωρία αναζήτησης, παιχνίδια, προγραμματισμός) χρησιμοποιώντας αριθμούς Fibonacci και τη χρυσή τομή. Στις ΗΠΑ δημιουργείται ακόμη και η Mathematical Fibonacci Association, η οποία εκδίδει ειδικό περιοδικό από το 1963.

Ένα από τα επιτεύγματα σε αυτόν τον τομέα είναι η ανακάλυψη γενικευμένων αριθμών Fibonacci και γενικευμένων χρυσών αναλογιών.

Η σειρά Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) και η «δυαδική» σειρά βαρών 1, 2, 4, 8, που ανακάλυψε ο ίδιος, είναι με την πρώτη ματιά εντελώς διαφορετικές. Αλλά οι αλγόριθμοι για την κατασκευή τους είναι πολύ παρόμοιοι μεταξύ τους: στην πρώτη περίπτωση, κάθε αριθμός είναι το άθροισμα του προηγούμενου αριθμού με τον εαυτό του 2=1+1. 4=2+2..., στο δεύτερο - αυτό είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Είναι δυνατόν να βρεθεί μια γενική μαθηματική τύπος από τον οποίο η «δυαδική» σειρά και η σειρά Fibonacci; Ή μήπως αυτός ο τύπος θα μας δώσει νέα αριθμητικά σύνολα που έχουν μερικές νέες μοναδικές ιδιότητες;

Πράγματι, ας ορίσουμε μια αριθμητική παράμετρο S, η οποία μπορεί να πάρει οποιεσδήποτε τιμές: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Θεωρήστε μια σειρά αριθμών, S+1, οι πρώτοι όροι της οποίας είναι ένα, και καθένας από οι επόμενοι είναι ίσοι με το άθροισμα δύο όρων του προηγούμενου και χωρίζονται από τον προηγούμενο με S βήματα. Αν συμβολίσουμε τον nο όρο αυτής της σειράς με; S (n), τότε παίρνουμε τον γενικό τύπο; S(n)=; S(n-1)+; S(n-S-1).

Είναι προφανές ότι με S=0 από αυτόν τον τύπο θα λάβουμε μια «δυαδική» σειρά, με S=1 - τη σειρά Fibonacci, με S=2, 3, 4. νέες σειρές αριθμών, που ονομάζονται αριθμοί S-Fibonacci. .

Γενικά, η χρυσή αναλογία S είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης της χρυσής τομής x S+1 -x S -1=0.

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι όταν S = 0 το τμήμα διαιρείται στο μισό και όταν S = 1 προκύπτει η γνωστή κλασική χρυσή αναλογία.

Οι λόγοι των γειτονικών αριθμών S Fibonacci συμπίπτουν με απόλυτη μαθηματική ακρίβεια στο όριο με τις χρυσές αναλογίες S! Οι μαθηματικοί σε τέτοιες περιπτώσεις λένε ότι οι χρυσές αναλογίες S είναι αριθμητικές αναλλοίωτες των αριθμών S Fibonacci.

Γεγονότα που επιβεβαιώνουν την ύπαρξη χρυσών τομών S στη φύση δίνονται από τον Λευκορώσο επιστήμονα E.M. Soroko στο βιβλίο «Structural Harmony of Systems» (Μινσκ, «Science and Technology», 1984). Αποδεικνύεται, για παράδειγμα, ότι τα καλά μελετημένα δυαδικά κράματα έχουν ειδικές, έντονες λειτουργικές ιδιότητες (θερμικά σταθερά, σκληρά, ανθεκτικά στη φθορά, ανθεκτικά στην οξείδωση κ.λπ.) μόνο εάν τα ειδικά βάρη των αρχικών συστατικών σχετίζονται μεταξύ τους κατά ένα από χρυσές αναλογίες S. Αυτό επέτρεψε στον συγγραφέα να υποβάλει την υπόθεση ότι οι χρυσές τομές S είναι αριθμητικά αμετάβλητα συστήματα αυτοοργάνωσης. Μόλις επιβεβαιωθεί πειραματικά, αυτή η υπόθεση μπορεί να έχει θεμελιώδη σημασία για την ανάπτυξη συνεργειών - ένα νέο πεδίο της επιστήμης που μελετά τις διαδικασίες σε συστήματα αυτοοργάνωσης.

Χρησιμοποιώντας χρυσούς κωδικούς αναλογίας S, μπορείτε να εκφράσετε οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ως άθροισμα δυνάμεων των χρυσών αναλογιών S με ακέραιους συντελεστές.

Η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ αυτής της μεθόδου κωδικοποίησης αριθμών είναι ότι οι βάσεις των νέων κωδικών, που είναι οι χρυσές αναλογίες S, αποδεικνύονται παράλογοι αριθμοί όταν S>0. Έτσι, νέα συστήματα αριθμών με παράλογες βάσεις φαίνεται να βάζουν την ιστορικά καθιερωμένη ιεραρχία των σχέσεων μεταξύ ορθολογικών και παράλογων αριθμών «από το κεφάλι μέχρι το πόδι». Το γεγονός είναι ότι οι φυσικοί αριθμοί «ανακαλύφθηκαν» για πρώτη φορά. τότε οι λόγοι τους είναι ρητοί αριθμοί. Και μόνο αργότερα, αφού οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν ασύγκριτα τμήματα, γεννήθηκαν παράλογοι αριθμοί. Για παράδειγμα, σε δεκαδικά, πεπτικά, δυαδικά και άλλα κλασικά συστήματα αριθμών θέσης, οι φυσικοί αριθμοί επιλέχθηκαν ως ένα είδος θεμελιώδη αρχή: 10, 5, 2, από τους οποίους, σύμφωνα με ορισμένους κανόνες, όλοι οι άλλοι φυσικοί αριθμοί, καθώς και οι ορθολογικοί και οι παράλογοι αριθμοί, κατασκευάστηκαν.

Ένα είδος εναλλακτικής λύσης στις υπάρχουσες μεθόδους σημειογραφίας είναι ένα νέο, παράλογο σύστημα, στο οποίο ένας παράλογος αριθμός (ο οποίος, θυμηθείτε, είναι η ρίζα της εξίσωσης της χρυσής αναλογίας) επιλέγεται ως θεμελιώδης βάση για την αρχή της σημειογραφίας. άλλοι πραγματικοί αριθμοί εκφράζονται ήδη μέσω αυτού.

Σε ένα τέτοιο σύστημα αριθμών, οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί πάντα να αναπαρασταθεί ως πεπερασμένος - και όχι άπειρος, όπως πιστεύαμε προηγουμένως! — το άθροισμα των δυνάμεων οποιασδήποτε από τις χρυσές αναλογίες S. Αυτός είναι ένας από τους λόγους για τους οποίους η «παράλογη» αριθμητική, έχοντας εκπληκτική μαθηματική απλότητα και κομψότητα, φαίνεται να έχει απορροφήσει τις καλύτερες ιδιότητες της κλασικής δυαδικής και της αριθμητικής «Fibonacci».

ΑΡΧΕΣ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΟΡΦΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΗ

Ό,τι έπαιρνε κάποια μορφή διαμορφώθηκε, μεγάλωσε, επεδίωξε να πάρει θέση στο χώρο και να διατηρηθεί. Αυτή η επιθυμία πραγματοποιείται κυρίως με δύο τρόπους: να μεγαλώνει προς τα πάνω ή να απλώνεται στην επιφάνεια της γης και να στρίβει σε μια σπείρα.

Το κέλυφος είναι στριμμένο σε μια σπείρα. Αν το ξεδιπλώσετε, θα έχετε ένα μήκος ελαφρώς μικρότερο από το μήκος του φιδιού. Ένα μικρό κέλυφος δέκα εκατοστών έχει μια σπείρα μήκους 35 cm Οι σπείρες είναι πολύ συνηθισμένες στη φύση. Η ιδέα της χρυσής τομής θα είναι ελλιπής χωρίς να μιλάμε για τη σπείρα.

Το σχήμα του σπειροειδούς κυρτού κελύφους τράβηξε την προσοχή του Αρχιμήδη. Το μελέτησε και έβγαλε την εξίσωση της σπείρας. Η σπείρα που σχεδιάζεται σύμφωνα με αυτή την εξίσωση ονομάζεται με το όνομά του. Η αύξηση στο βήμα της είναι πάντα ομοιόμορφη. Επί του παρόντος, η σπείρα του Αρχιμήδη χρησιμοποιείται ευρέως στην τεχνολογία.

Ο Γκαίτε τόνισε επίσης την τάση της φύσης προς τη σπείρα. Η ελικοειδής και σπειροειδής διάταξη των φύλλων στα κλαδιά των δέντρων είχε παρατηρηθεί εδώ και πολύ καιρό.

Η σπείρα φάνηκε στη διάταξη ηλιόσπορων, κουκουνάρια, ανανάδες, κάκτοι κ.λπ. Η κοινή εργασία βοτανολόγων και μαθηματικών έχει ρίξει φως σε αυτά τα εκπληκτικά φυσικά φαινόμενα. Αποδείχθηκε ότι η σειρά Fibonacci εκδηλώνεται με τη διάταξη των φύλλων σε ένα κλαδί (phylotaxis), τους ηλιόσπορους και τα κουκουνάρια, και ως εκ τούτου, ο νόμος της χρυσής αναλογίας εκδηλώνεται. Η αράχνη υφαίνει τον ιστό της σε σπειροειδή μορφή. Ένας τυφώνας στριφογυρίζει σαν σπείρα. Ένα φοβισμένο κοπάδι ταράνδων σκορπίζεται σε μια σπείρα. Το μόριο του DNA είναι στριμμένο σε διπλή έλικα. Ο Γκαίτε αποκάλεσε τη σπείρα «καμπύλη της ζωής».

Σειρά Mandelbrot

Η Χρυσή Σπείρα σχετίζεται στενά με τους κύκλους. Η σύγχρονη επιστήμη του χάους μελετά απλές κυκλικές πράξεις με ανάδραση και τα φράκταλ σχήματα που δημιουργούν, μέχρι τότε άγνωστα. Η εικόνα δείχνει τη διάσημη σειρά Mandelbrot - μια σελίδα από το λεξικό ηάκρα μεμονωμένων σχεδίων που ονομάζονται Julian series. Μερικοί επιστήμονες συσχετίζουν τη σειρά Mandelbrot με τον γενετικό κώδικα των κυτταρικών πυρήνων. Μια σταθερή αύξηση των τμημάτων αποκαλύπτει φράκταλ που είναι εκπληκτικά στην καλλιτεχνική τους πολυπλοκότητα. Και εδώ, επίσης, υπάρχουν λογαριθμικές σπείρες! Αυτό είναι ακόμη πιο σημαντικό αφού τόσο η σειρά Mandelbrot όσο και η σειρά Julian δεν είναι εφεύρεση του ανθρώπινου μυαλού. Προκύπτουν από την περιοχή των πρωτοτύπων του Πλάτωνα. Όπως είπε ο γιατρός R. Penrose, «είναι σαν το Έβερεστ».

Ανάμεσα στα βότανα της άκρης του δρόμου αναπτύσσεται ένα απαράμιλλο φυτό - το κιχώριο. Ας το ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά. Ένας βλαστός έχει σχηματιστεί από το κύριο στέλεχος. Το πρώτο φύλλο βρισκόταν ακριβώς εκεί.

Ο βλαστός κάνει μια ισχυρή εκτίναξη στο κενό, σταματά, απελευθερώνει ένα φύλλο, αλλά αυτός ο χρόνος είναι μικρότερος από τον πρώτο, πάλι εκτινάσσεται στο κενό, αλλά με λιγότερη δύναμη, απελευθερώνει ένα φύλλο ακόμα μικρότερου μεγέθους και εκτοξεύεται ξανά.

Εάν η πρώτη εκπομπή ληφθεί ως 100 μονάδες, τότε η δεύτερη είναι ίση με 62 μονάδες, η τρίτη είναι 38, η τέταρτη είναι 24 κ.λπ. Το μήκος των πετάλων υπόκειται επίσης στη χρυσή αναλογία. Στην ανάπτυξη και την κατάκτηση του χώρου, το φυτό διατήρησε ορισμένες αναλογίες. Οι παρορμήσεις της ανάπτυξής του μειώθηκαν σταδιακά ανάλογα με τη χρυσή τομή.

Ραδίκι

Σε πολλές πεταλούδες, η αναλογία των μεγεθών των θωρακικών και κοιλιακών τμημάτων του σώματος αντιστοιχεί στη χρυσή τομή. Διπλώνοντας τα φτερά του, ο σκόρος σχηματίζει ένα κανονικό ισόπλευρο τρίγωνο. Αλλά αν ανοίξετε τα φτερά σας, θα δείτε την ίδια αρχή της διαίρεσης του σώματος σε 2, 3, 5, 8. Η λιβελλούλη δημιουργείται επίσης σύμφωνα με τους νόμους της χρυσής αναλογίας: την αναλογία των μηκών της ουράς και του σώματος ισούται με την αναλογία του συνολικού μήκους προς το μήκος της ουράς.

Με την πρώτη ματιά, η σαύρα έχει αναλογίες που είναι ευχάριστες στα μάτια μας - το μήκος της ουράς της σχετίζεται με το μήκος του υπόλοιπου σώματος από 62 έως 38.

Ζωοτόκος σαύρα

Τόσο στον φυτικό όσο και στον ζωικό κόσμο, η διαμορφωτική τάση της φύσης διασπά επίμονα - συμμετρία ως προς την κατεύθυνση της ανάπτυξης και της κίνησης. Εδώ η χρυσή τομή εμφανίζεται στις αναλογίες των μερών που είναι κάθετες προς την κατεύθυνση της ανάπτυξης.

Η φύση έχει κάνει διαίρεση σε συμμετρικά μέρη και χρυσές αναλογίες. Τα μέρη αποκαλύπτουν μια επανάληψη της δομής του συνόλου.

Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζει η μελέτη των σχημάτων των αυγών των πτηνών. Οι διάφορες μορφές τους κυμαίνονται μεταξύ δύο ακραίων τύπων: ο ένας μπορεί να εγγραφεί σε ένα ορθογώνιο της χρυσής τομής, το άλλο σε ένα ορθογώνιο με συντελεστή 1,272 (η ρίζα της χρυσής αναλογίας)

Τέτοια σχήματα αυγών πτηνών δεν είναι τυχαία, αφού έχει πλέον αποδειχθεί ότι το σχήμα των αυγών που περιγράφεται από τη χρυσή αναλογία αντιστοιχεί σε χαρακτηριστικά υψηλότερης αντοχής του κελύφους του αυγού.

Οι χαυλιόδοντες των ελεφάντων και των εξαφανισμένων μαμούθ, τα νύχια των λιονταριών και τα ράμφη των παπαγάλων έχουν λογαριθμικό σχήμα και μοιάζουν με το σχήμα ενός άξονα που τείνει να μετατραπεί σε σπείρα.

Στη ζωντανή φύση, οι μορφές που βασίζονται στην «πενταγωνική» συμμετρία είναι ευρέως διαδεδομένες (αστερίες, αχινοί, λουλούδια).

Η χρυσή τομή υπάρχει στη δομή όλων των κρυστάλλων, αλλά οι περισσότεροι κρύσταλλοι είναι μικροσκοπικά μικροί, επομένως δεν μπορούμε να τους δούμε με γυμνό μάτι. Ωστόσο, οι νιφάδες χιονιού, που είναι επίσης κρύσταλλοι νερού, είναι αρκετά ορατές στα μάτια μας. Όλες οι εξαιρετικά όμορφες φιγούρες που σχηματίζουν νιφάδες χιονιού, όλοι οι άξονες, οι κύκλοι και οι γεωμετρικές φιγούρες σε νιφάδες χιονιού είναι επίσης πάντα, χωρίς εξαίρεση, κατασκευασμένες σύμφωνα με την τέλεια σαφή φόρμουλα της χρυσής τομής.

Στον μικρόκοσμο, τρισδιάστατες λογαριθμικές μορφές χτισμένες σύμφωνα με χρυσές αναλογίες είναι πανταχού παρούσες. Για παράδειγμα, πολλοί ιοί έχουν το τρισδιάστατο γεωμετρικό σχήμα ενός εικοσάεδρου. Ίσως ο πιο διάσημος από αυτούς τους ιούς είναι ο ιός Adeno. Το πρωτεϊνικό κέλυφος του ιού Adeno σχηματίζεται από 252 μονάδες πρωτεϊνικών κυττάρων διατεταγμένων σε μια συγκεκριμένη αλληλουχία. Σε κάθε γωνία του εικοσάεδρου υπάρχουν 12 μονάδες πρωτεϊνικών κυττάρων σε σχήμα πενταγωνικού πρίσματος και δομές που μοιάζουν με σπονδυλική στήλη εκτείνονται από αυτές τις γωνίες.

Αδενοϊός

Η χρυσή τομή στη δομή των ιών ανακαλύφθηκε για πρώτη φορά τη δεκαετία του 1950. επιστήμονες από το Birkbeck College London A. Klug και D. Kaspar. Ο ιός Polyo ήταν ο πρώτος που παρουσίασε μια λογαριθμική μορφή. Το σχήμα αυτού του ιού βρέθηκε να είναι παρόμοιο με αυτό του ιού Rhino.

Τίθεται το ερώτημα: πώς οι ιοί σχηματίζουν τόσο περίπλοκες τρισδιάστατες μορφές, η δομή των οποίων περιέχει τη χρυσή τομή, που είναι αρκετά δύσκολο να κατασκευαστούν ακόμη και με το ανθρώπινο μυαλό μας; Ο ανακαλύπτων αυτών των μορφών ιών, ο ιολόγος A. Klug, δίνει το ακόλουθο σχόλιο: «Ο Δρ Κάσπαρ και εγώ δείξαμε ότι για το σφαιρικό κέλυφος του ιού, το βέλτιστο σχήμα είναι η συμμετρία, όπως το σχήμα του εικοσάεδρου. Αυτή η σειρά ελαχιστοποιεί τον αριθμό των συνδετικών στοιχείων... Οι περισσότεροι από τους γεωδαιτικούς ημισφαιρικούς κύβους του Buckminster Fuller είναι κατασκευασμένοι με παρόμοια γεωμετρική αρχή. Η εγκατάσταση τέτοιων κύβων απαιτεί ένα εξαιρετικά ακριβές και λεπτομερές διάγραμμα επεξήγησης, ενώ οι ίδιοι οι ασυνείδητοι ιοί κατασκευάζουν ένα τόσο περίπλοκο κέλυφος από ελαστικές, εύκαμπτες πρωτεϊνικές κυτταρικές μονάδες».

Το σχόλιο του Klug μας υπενθυμίζει για άλλη μια φορά μια εξαιρετικά προφανή αλήθεια: στη δομή ακόμη και ενός μικροσκοπικού οργανισμού που οι επιστήμονες κατατάσσουν ως «την πιο πρωτόγονη μορφή ζωής», στην προκειμένη περίπτωση ως ιό, υπάρχει ένα σαφές σχέδιο και ένας έξυπνος σχεδιασμός που εφαρμόζεται. Αυτό το έργο είναι ασύγκριτο στην τελειότητα και την ακρίβεια εκτέλεσής του με τα πιο προηγμένα αρχιτεκτονικά έργα που δημιουργούνται από ανθρώπους. Για παράδειγμα, έργα που δημιουργήθηκαν από τον λαμπρό αρχιτέκτονα Buckminster Fuller.

Τρισδιάστατα μοντέλα του δωδεκάεδρου και του εικοσάεδρου υπάρχουν επίσης στη δομή των σκελετών των μονοκύτταρων θαλάσσιων μικροοργανισμών radiolarians (rayfish), των οποίων ο σκελετός είναι κατασκευασμένος από πυρίτιο.

Οι ακτινοβολητές σχηματίζουν τα σώματά τους εξαιρετικής, ασυνήθιστης ομορφιάς. Το σχήμα τους είναι ένα κανονικό δωδεκάεδρο και από κάθε γωνία του ξεφυτρώνει ένα ψευδο-επιμήκυνση-άκρο και άλλα ασυνήθιστα σχήματα-αναπτύξεις.

Ο μεγάλος Γκαίτε, ποιητής, φυσιοδίφης και καλλιτέχνης (σχεδίαζε και ζωγράφιζε με ακουαρέλες), ονειρευόταν να δημιουργήσει ένα ενιαίο δόγμα για τη μορφή, το σχηματισμό και τη μεταμόρφωση των οργανικών σωμάτων. Ήταν αυτός που εισήγαγε τον όρο μορφολογία στην επιστημονική χρήση.

Ο Πιερ Κιουρί στις αρχές αυτού του αιώνα διατύπωσε μια σειρά από βαθιές ιδέες για τη συμμετρία. Υποστήριξε ότι δεν μπορεί κανείς να εξετάσει τη συμμετρία οποιουδήποτε σώματος χωρίς να λάβει υπόψη τη συμμετρία του περιβάλλοντος.

Οι νόμοι της «χρυσής» συμμετρίας εκδηλώνονται στις ενεργειακές μεταβάσεις στοιχειωδών σωματιδίων, στη δομή ορισμένων χημικών ενώσεων, σε πλανητικά και κοσμικά συστήματα, στις γονιδιακές δομές των ζωντανών οργανισμών. Αυτά τα μοτίβα, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, υπάρχουν στη δομή των μεμονωμένων ανθρώπινων οργάνων και του σώματος στο σύνολό του, και επίσης εκδηλώνονται στους βιορυθμούς και τη λειτουργία του εγκεφάλου και την οπτική αντίληψη.

ΤΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΣΩΜΑ ΚΑΙ Η ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΙΑ

Όλα τα ανθρώπινα οστά διατηρούνται σε αναλογία με τη χρυσή αναλογία. Οι αναλογίες των διαφόρων σημείων του σώματός μας είναι ένας αριθμός πολύ κοντά στη χρυσή τομή. Εάν αυτές οι αναλογίες συμπίπτουν με τον τύπο της χρυσής αναλογίας, τότε η εμφάνιση ή το σώμα του ατόμου θεωρείται ιδανικά ανάλογη.

Χρυσές αναλογίες σε σημεία του ανθρώπινου σώματος

Αν πάρουμε το σημείο του ομφαλού ως κέντρο του ανθρώπινου σώματος και την απόσταση μεταξύ του ποδιού ενός ατόμου και του ομφαλού ως μονάδα μέτρησης, τότε το ύψος ενός ατόμου ισοδυναμεί με τον αριθμό 1.618.

η απόσταση από το επίπεδο του ώμου μέχρι το στέμμα του κεφαλιού και το μέγεθος του κεφαλιού είναι 1:1,618.
η απόσταση από το σημείο του ομφαλού μέχρι το στέμμα του κεφαλιού και από το επίπεδο των ώμων μέχρι το στέμμα του κεφαλιού είναι 1:1,618.
Η απόσταση του σημείου του ομφαλού από τα γόνατα και από τα γόνατα έως τα πόδια είναι 1:1.618.
η απόσταση από την άκρη του πηγουνιού μέχρι την άκρη του άνω χείλους και από την άκρη του άνω χείλους μέχρι τα ρουθούνια είναι 1:1,618.
η πραγματική ακριβής παρουσία της χρυσής αναλογίας στο πρόσωπο ενός ανθρώπου είναι το ιδανικό της ομορφιάς για το ανθρώπινο βλέμμα.
η απόσταση από την άκρη του πηγουνιού μέχρι την επάνω γραμμή των φρυδιών και από την επάνω γραμμή των φρυδιών μέχρι το στέμμα είναι 1:1,618.
ύψος προσώπου/πλάτος προσώπου.
το κεντρικό σημείο σύνδεσης των χειλιών με τη βάση της μύτης/μήκος της μύτης.
ύψος προσώπου/απόσταση από την άκρη του πηγουνιού μέχρι το κεντρικό σημείο όπου συναντώνται τα χείλη.
πλάτος στόματος/πλάτος μύτης.
πλάτος της μύτης/απόσταση μεταξύ των ρουθουνιών.
απόσταση μεταξύ των κόρων/απόσταση μεταξύ των φρυδιών.

Αρκεί απλώς να φέρετε την παλάμη σας πιο κοντά σας και να κοιτάξετε προσεκτικά τον δείκτη σας και θα βρείτε αμέσως τη φόρμουλα της χρυσής αναλογίας σε αυτήν.

Κάθε δάχτυλο του χεριού μας αποτελείται από τρεις φάλαγγες. Το άθροισμα των μηκών των δύο πρώτων φαλαγγών του δακτύλου σε σχέση με όλο το μήκος του δακτύλου δίνει τον αριθμό της χρυσής αναλογίας (με εξαίρεση τον αντίχειρα).

Επιπλέον, η αναλογία μεταξύ του μεσαίου και μικρού δακτύλου είναι επίσης ίση με τη χρυσή τομή.

Ένα άτομο έχει 2 χέρια, τα δάχτυλα σε κάθε χέρι αποτελούνται από 3 φάλαγγες (εκτός από τον αντίχειρα). Υπάρχουν 5 δάχτυλα σε κάθε χέρι, δηλαδή 10 συνολικά, αλλά με εξαίρεση δύο αντίχειρες με δύο φάλαγγες, μόνο 8 δάχτυλα δημιουργούνται σύμφωνα με την αρχή της χρυσής αναλογίας. Ενώ όλοι αυτοί οι αριθμοί 2, 3, 5 και 8 είναι αριθμοί ακολουθίας Fibonacci.

Αξίζει επίσης να σημειωθεί το γεγονός ότι για τους περισσότερους ανθρώπους, η απόσταση μεταξύ των άκρων των τεντωμένων χεριών τους είναι ίση με το ύψος τους.

Οι αλήθειες της χρυσής τομής βρίσκονται μέσα μας και στον χώρο μας. Η ιδιαιτερότητα των βρόγχων που αποτελούν τους ανθρώπινους πνεύμονες έγκειται στην ασυμμετρία τους. Οι βρόγχοι αποτελούνται από δύο κύριους αεραγωγούς, εκ των οποίων ο ένας (ο αριστερός) είναι μακρύτερος και ο άλλος (ο δεξιός) είναι πιο κοντός. Διαπιστώθηκε ότι αυτή η ασυμμετρία συνεχίζεται στους κλάδους των βρόγχων, σε όλες τις μικρότερες αναπνευστικές οδούς. Επιπλέον, η αναλογία των μηκών των κοντών και των μακριών βρόγχων είναι επίσης η χρυσή αναλογία και είναι ίση με 1:1,618.

Στο ανθρώπινο εσωτερικό αυτί υπάρχει ένα όργανο που ονομάζεται Κοχλίας («Σαλιγκάρι»), το οποίο εκτελεί τη λειτουργία της μετάδοσης ηχητικών δονήσεων. Αυτή η οστική δομή είναι γεμάτη με υγρό και έχει επίσης σχήμα σαν σαλιγκάρι, που περιέχει σταθερό λογαριθμικό σπειροειδές σχήμα =73 0 43".

Η αρτηριακή πίεση αλλάζει καθώς λειτουργεί η καρδιά. Φτάνει στη μέγιστη τιμή της στην αριστερή κοιλία της καρδιάς τη στιγμή της συμπίεσής της (συστολή). Στις αρτηρίες, κατά τη συστολή των κοιλιών της καρδιάς, η αρτηριακή πίεση φτάνει σε μέγιστη τιμή ίση με 115-125 mmHg σε ένα νέο, υγιές άτομο. Τη στιγμή της χαλάρωσης του καρδιακού μυός (διαστολή), η πίεση μειώνεται στα 70-80 mm Hg. Ο λόγος της μέγιστης (συστολικής) προς την ελάχιστη (διαστολική) πίεση είναι κατά μέσο όρο 1,6, δηλαδή κοντά στη χρυσή τομή.

Αν πάρουμε ως μονάδα τη μέση αρτηριακή πίεση στην αορτή, τότε η συστολική αρτηριακή πίεση στην αορτή είναι 0,382 και η διαστολική πίεση είναι 0,618, δηλαδή η αναλογία τους αντιστοιχεί στη χρυσή αναλογία. Αυτό σημαίνει ότι το έργο της καρδιάς σε σχέση με τους χρονικούς κύκλους και τις αλλαγές στην αρτηριακή πίεση βελτιστοποιείται σύμφωνα με την ίδια αρχή, τον νόμο της χρυσής αναλογίας.

Το μόριο DNA αποτελείται από δύο κάθετα συνυφασμένες έλικες. Το μήκος καθεμιάς από αυτές τις σπείρες είναι 34 angstroms και το πλάτος είναι 21 angstroms. (1 angstrom είναι εκατο εκατομμυριοστό του εκατοστού).

Η δομή του τμήματος της έλικας του μορίου του DNA

Άρα, το 21 και το 34 είναι αριθμοί που ακολουθούν ο ένας τον άλλο στην ακολουθία των αριθμών Fibonacci, δηλαδή ο λόγος του μήκους και του πλάτους της λογαριθμικής σπείρας του μορίου DNA φέρει τον τύπο της χρυσής αναλογίας 1:1,618.

ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΛΥΠΤΙΚΗ

Γλυπτές κατασκευές και μνημεία ανεγέρθηκαν για να διαιωνίσουν σημαντικά γεγονότα, να διατηρήσουν στη μνήμη των απογόνων τα ονόματα διάσημων προσώπων, τα κατορθώματα και τις πράξεις τους. Είναι γνωστό ότι ακόμη και στην αρχαιότητα η βάση της γλυπτικής ήταν η θεωρία των αναλογιών. Οι σχέσεις μεταξύ των μερών του ανθρώπινου σώματος συνδέθηκαν με τον τύπο της χρυσής αναλογίας. Οι αναλογίες της «χρυσής τομής» δημιουργούν την εντύπωση αρμονίας και ομορφιάς, γι' αυτό και οι γλύπτες τις χρησιμοποιούσαν στα έργα τους. Οι γλύπτες ισχυρίζονται ότι η μέση χωρίζει το τέλειο ανθρώπινο σώμα σε σχέση με τη «χρυσή τομή». Για παράδειγμα, το περίφημο άγαλμα του Απόλλωνα Μπελβεντέρε αποτελείται από μέρη που χωρίζονται σε χρυσές αναλογίες. Ο μεγάλος αρχαίος Έλληνας γλύπτης Φειδίας χρησιμοποιούσε συχνά τη «χρυσή τομή» στα έργα του. Τα πιο γνωστά από αυτά ήταν το άγαλμα του Ολυμπίου Διός (που θεωρούνταν ένα από τα θαύματα του κόσμου) και ο Παρθενώνας της Αθήνας.

Η χρυσή αναλογία του αγάλματος του Απόλλωνα Μπελβεντέρε είναι γνωστή: το ύψος του εικονιζόμενου διαιρείται με την ομφαλική γραμμή στη χρυσή τομή.

ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ

Στα βιβλία για τη «χρυσή τομή» μπορείτε να βρείτε την παρατήρηση ότι στην αρχιτεκτονική, όπως και στη ζωγραφική, όλα εξαρτώνται από τη θέση του παρατηρητή και αν κάποιες αναλογίες σε ένα κτίριο από τη μία πλευρά φαίνεται να σχηματίζουν τη «χρυσή τομή», τότε από άλλες απόψεις θα φαίνονται διαφορετικά. Η "Χρυσή Αναλογία" δίνει την πιο χαλαρή αναλογία των μεγεθών ορισμένων μηκών.

Ένα από τα ωραιότερα έργα της αρχαίας ελληνικής αρχιτεκτονικής είναι ο Παρθενώνας (5ος αιώνας π.Χ.).

Τα σχήματα δείχνουν έναν αριθμό μοτίβων που σχετίζονται με τη χρυσή τομή. Οι αναλογίες του κτιρίου μπορούν να εκφραστούν με διάφορες δυνάμεις του αριθμού Ф=0,618...

Ο Παρθενώνας έχει 8 κίονες στις κοντές πλευρές και 17 στις μεγάλες πλευρές. Οι προεξοχές είναι κατασκευασμένες εξ ολοκλήρου από τετράγωνα μαρμάρου Πεντηλαίου. Η ευγένεια του υλικού από το οποίο κατασκευάστηκε ο ναός επέτρεψε τον περιορισμό της χρήσης χρωματισμού, κάτι που συνηθίζεται στην ελληνική αρχιτεκτονική, τονίζει μόνο τις λεπτομέρειες και σχηματίζει ένα έγχρωμο φόντο (μπλε και κόκκινο) για το γλυπτό. Ο λόγος του ύψους του κτιρίου προς το μήκος του είναι 0,618. Αν χωρίσουμε τον Παρθενώνα σύμφωνα με τη «χρυσή τομή», θα έχουμε ορισμένες προεξοχές της πρόσοψης.

Τα «χρυσά ορθογώνια» διακρίνονται και στην κάτοψη του Παρθενώνα.

Μπορούμε να δούμε τη χρυσή τομή στο κτήριο της Παναγίας των Παρισίων (Notre Dame de Paris) και στην Πυραμίδα του Χέοπα.

Όχι μόνο οι αιγυπτιακές πυραμίδες χτίστηκαν σύμφωνα με τις τέλειες αναλογίες της χρυσής τομής. το ίδιο φαινόμενο βρέθηκε και στις μεξικανικές πυραμίδες.

Για πολύ καιρό πίστευαν ότι οι αρχιτέκτονες της Αρχαίας Ρωσίας έχτισαν τα πάντα "με το μάτι", χωρίς ειδικούς μαθηματικούς υπολογισμούς. Ωστόσο, η τελευταία έρευνα έδειξε ότι οι Ρώσοι αρχιτέκτονες γνώριζαν καλά τις μαθηματικές αναλογίες, όπως αποδεικνύεται από την ανάλυση της γεωμετρίας των αρχαίων ναών.

Ο διάσημος Ρώσος αρχιτέκτονας M. Kazakov χρησιμοποίησε ευρέως τη «χρυσή τομή» στο έργο του. Το ταλέντο του ήταν πολύπλευρο, αλλά αποκαλύφθηκε σε μεγαλύτερο βαθμό στα πολυάριθμα ολοκληρωμένα έργα οικιστικών κτιρίων και κτημάτων. Για παράδειγμα, η «χρυσή τομή» μπορεί να βρεθεί στην αρχιτεκτονική του κτιρίου της Γερουσίας στο Κρεμλίνο. Σύμφωνα με το έργο του M. Kazakov, το Νοσοκομείο Golitsyn χτίστηκε στη Μόσχα, το οποίο σήμερα ονομάζεται Πρώτο Κλινικό Νοσοκομείο που φέρει το όνομα του N.I. Ο Παϊρόγκοφ.

Παλάτι Petrovsky στη Μόσχα. Κατασκευασμένο σύμφωνα με το σχέδιο του M.F. Καζάκοβα

Ένα άλλο αρχιτεκτονικό αριστούργημα της Μόσχας - το σπίτι του Πάσκοφ - είναι ένα από τα τελειότερα έργα αρχιτεκτονικής του V. Bazhenov.

Σπίτι Pashkov

Η υπέροχη δημιουργία του V. Bazhenov έχει μπει σταθερά στο σύνολο του κέντρου της σύγχρονης Μόσχας και το εμπλούτισε. Το εξωτερικό του σπιτιού έχει παραμείνει σχεδόν αμετάβλητο μέχρι σήμερα, παρά το γεγονός ότι κάηκε σοβαρά το 1812. Κατά τη διάρκεια της αποκατάστασης, το κτίριο απέκτησε πιο ογκώδη σχήματα. Η εσωτερική διάταξη του κτιρίου δεν έχει διατηρηθεί, κάτι που φαίνεται μόνο στο σχέδιο του κάτω ορόφου.

Πολλές από τις δηλώσεις του αρχιτέκτονα αξίζουν προσοχής σήμερα. Για την αγαπημένη του τέχνη, ο V. Bazhenov είπε: «Η αρχιτεκτονική έχει τρία κύρια αντικείμενα: την ομορφιά, την ηρεμία και τη δύναμη του κτιρίου... Για να επιτευχθεί αυτό, η γνώση της αναλογίας, της προοπτικής, της μηχανικής ή της φυσικής γενικά χρησιμεύει ως οδηγός, και ο κοινός ηγέτης όλων αυτών είναι η λογική».

ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΜΟΥΣΙΚΗ

Πίσω στο 1925, ο κριτικός τέχνης L.L. Ο Sabaneev, έχοντας αναλύσει 1.770 μουσικά έργα από 42 συγγραφείς, έδειξε ότι η συντριπτική πλειονότητα των εξαιρετικών έργων μπορούν εύκολα να χωριστούν σε μέρη είτε με θέμα, είτε με τη δομή του τονισμού, είτε με τη τροπική δομή, τα οποία σχετίζονται μεταξύ τους σε σχέση με το χρυσό αναλογία. Επιπλέον, όσο πιο ταλαντούχος είναι ο συνθέτης, τόσο περισσότερες χρυσές αναλογίες βρίσκονται στα έργα του. Σύμφωνα με τον Sabaneev, η χρυσή τομή οδηγεί στην εντύπωση μιας ιδιαίτερης αρμονίας μιας μουσικής σύνθεσης. Ο Sabaneev έλεγξε αυτό το αποτέλεσμα και στα 27 etudes του Chopin. Ανακάλυψε 178 χρυσές αναλογίες σε αυτά. Αποδείχθηκε ότι όχι μόνο μεγάλα τμήματα των μελετών διαιρούνται με βάση τη διάρκεια σε σχέση με τη χρυσή τομή, αλλά και τμήματα των μελετών στο εσωτερικό διαιρούνται συχνά στην ίδια αναλογία.

Ο συνθέτης και επιστήμονας M.A. Ο Marutaev μέτρησε τον αριθμό των ράβδων στη διάσημη σονάτα "Appassionata" και βρήκε μια σειρά από ενδιαφέρουσες αριθμητικές σχέσεις. Συγκεκριμένα, στην ανάπτυξη - την κεντρική δομική ενότητα της σονάτας, όπου τα θέματα αναπτύσσονται εντατικά και οι τόνοι αντικαθιστούν ο ένας τον άλλον - υπάρχουν δύο κύριες ενότητες. Στην πρώτη - 43,25 μέτρα, στη δεύτερη - 26,75. Η αναλογία 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 δίνει τη χρυσή τομή.

Ο μεγαλύτερος αριθμός έργων στα οποία υπάρχει η Χρυσή Αναλογία είναι των Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Chopin (92%), Schubert (91%).

Αν η μουσική είναι η αρμονική διάταξη των ήχων, τότε η ποίηση είναι η αρμονική διάταξη του λόγου. Ένας καθαρός ρυθμός, μια φυσική εναλλαγή τονισμένων και άτονων συλλαβών, ένας διατεταγμένος μετρητής ποιημάτων και ο συναισθηματικός τους πλούτος κάνουν την ποίηση αδερφή των μουσικών έργων. Η χρυσή τομή στην ποίηση εκδηλώνεται πρώτα απ 'όλα ως η παρουσία μιας συγκεκριμένης στιγμής του ποιήματος (αποκορύφωμα, σημασιολογική καμπή, κύρια ιδέα του έργου) σε μια γραμμή που πέφτει στο σημείο διαίρεσης του συνολικού αριθμού γραμμών του ποιήματος στη χρυσή αναλογία. Έτσι, αν ένα ποίημα περιέχει 100 γραμμές, τότε το πρώτο σημείο της Χρυσής Αναλογίας πέφτει στην 62η γραμμή (62%), το δεύτερο στην 38η (38%) κ.λπ. Τα έργα του Alexander Sergeevich Pushkin, συμπεριλαμβανομένου του "Eugene Onegin", είναι η καλύτερη αντιστοιχία στη χρυσή αναλογία! Έργα των Shota Rustaveli και M.Yu. Το Lermontov είναι επίσης κατασκευασμένο σύμφωνα με την αρχή της Χρυσής Τομής.

Ο Stradivarius έγραψε ότι χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή για να καθορίσει τις θέσεις για εγκοπές σε σχήμα f στα σώματα των διάσημων βιολιών του.

ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΠΟΙΗΣΗ

Η έρευνα σε ποιητικά έργα από αυτές τις θέσεις μόλις αρχίζει. Και πρέπει να ξεκινήσετε με την ποίηση του Α.Σ. Πούσκιν. Εξάλλου, τα έργα του είναι ένα παράδειγμα από τις πιο εξαιρετικές δημιουργίες του ρωσικού πολιτισμού, ένα παράδειγμα του υψηλότερου επιπέδου αρμονίας. Από την ποίηση του Α.Σ. Πούσκιν, θα ξεκινήσουμε την αναζήτηση της χρυσής αναλογίας - το μέτρο της αρμονίας και της ομορφιάς.

Πολλά στη δομή των ποιητικών έργων κάνουν αυτή τη μορφή τέχνης παρόμοια με τη μουσική. Ένας καθαρός ρυθμός, μια φυσική εναλλαγή τονισμένων και άτονων συλλαβών, ένας διατεταγμένος μετρητής ποιημάτων και ο συναισθηματικός τους πλούτος κάνουν την ποίηση αδερφή των μουσικών έργων. Κάθε στίχος έχει τη δική του μουσική μορφή, το δικό του ρυθμό και μελωδία. Μπορεί κανείς να περιμένει ότι στη δομή των ποιημάτων θα εμφανιστούν κάποια χαρακτηριστικά των μουσικών έργων, οι νόμοι της μουσικής αρμονίας και, κατά συνέπεια, η χρυσή αναλογία.

Ας ξεκινήσουμε με το μέγεθος του ποιήματος, δηλαδή τον αριθμό των γραμμών σε αυτό. Φαίνεται ότι αυτή η παράμετρος του ποιήματος μπορεί να αλλάξει αυθαίρετα. Ωστόσο, αποδείχθηκε ότι δεν ήταν έτσι. Για παράδειγμα, η ανάλυση του N. Vasyutinsky για τα ποιήματα του A.S. Ο Πούσκινα έδειξε ότι τα μεγέθη των ποιημάτων κατανέμονται πολύ άνισα. αποδείχθηκε ότι ο Πούσκιν προτιμά σαφώς τα μεγέθη των 5, 8, 13, 21 και 34 γραμμών (αριθμοί Fibonacci).

Πολλοί ερευνητές έχουν παρατηρήσει ότι τα ποιήματα είναι παρόμοια με τα μουσικά κομμάτια. έχουν και κορυφαία σημεία που χωρίζουν το ποίημα αναλογικά με τη χρυσή τομή. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το ποίημα του A.S. Ο «Υποδηματοποιός» του Πούσκιν:

Ας αναλύσουμε αυτήν την παραβολή. Το ποίημα αποτελείται από 13 στίχους. Έχει δύο σημασιολογικά μέρη: το πρώτο σε 8 γραμμές και το δεύτερο (το ηθικό της παραβολής) σε 5 γραμμές (13, 8, 5 είναι αριθμοί Fibonacci).

Ένα από τα τελευταία ποιήματα του Πούσκιν, «Δεν εκτιμώ τα δυνατά δικαιώματα…» αποτελείται από 21 γραμμές και υπάρχουν δύο σημασιολογικά μέρη σε αυτό: 13 και 8 γραμμές:

Δεν εκτιμώ πολύ τα δυνατά δικαιώματα,

Που κάνει περισσότερα από ένα κεφάλια.

Δεν παραπονιέμαι που αρνήθηκαν οι θεοί

Είναι η γλυκιά μου μοίρα να αμφισβητώ τους φόρους

Ή εμποδίζει τους βασιλιάδες να πολεμούν μεταξύ τους.

Και δεν μου αρκεί να ανησυχώ αν ο Τύπος είναι ελεύθερος

Χαζεύει ηλίθιους, ή ευαίσθητη λογοκρισία

Στα σχέδια περιοδικών, ο τζόκερ ντρέπεται.

Όλα αυτά, βλέπετε, είναι λόγια, λόγια, λόγια.

Άλλα, καλύτερα δικαιώματα μου είναι αγαπητά:

Χρειάζομαι μια διαφορετική, καλύτερη ελευθερία:

Βασιστείτε στον βασιλιά, βασιστείτε στον λαό -

Μας ενδιαφέρει; Ο Θεός μαζί τους.

Μην κάνετε αναφορά, μόνο στον εαυτό σας

Να υπηρετήσω και να παρακαλώ? για δύναμη, για ζωντάνια

Μην λυγίζετε τη συνείδησή σας, τις σκέψεις σας, το λαιμό σας.

Να περιπλανιέται εδώ κι εκεί κατά βούληση,

Θαυμάζοντας τη θεϊκή ομορφιά της φύσης,

Και πριν από τις δημιουργίες της τέχνης και της έμπνευσης

Τρέμοντας χαρούμενα στις αρπαγές της τρυφερότητας,

Τι ευτυχία! Σωστά...

Είναι χαρακτηριστικό ότι το πρώτο μέρος αυτού του στίχου (13 σειρές), σύμφωνα με το σημασιολογικό του περιεχόμενο, χωρίζεται σε 8 και 5 γραμμές, δηλαδή ολόκληρο το ποίημα είναι δομημένο σύμφωνα με τους νόμους της χρυσής αναλογίας.

Η ανάλυση του μυθιστορήματος «Eugene Onegin» που έγινε από τον N. Vasyutinsky έχει αναμφισβήτητο ενδιαφέρον. Αυτό το μυθιστόρημα αποτελείται από 8 κεφάλαια, το καθένα με μέσο όρο περίπου 50 στίχους. Το όγδοο κεφάλαιο είναι το πιο τέλειο, πιο εκλεπτυσμένο και συναισθηματικά πλούσιο. Έχει 51 στίχους. Μαζί με το γράμμα του Ευγένιου προς την Τατιάνα (60 γραμμές), αυτό αντιστοιχεί ακριβώς στον αριθμό Fibonacci 55!

Ο N. Vasyutinsky δηλώνει: "Το αποκορύφωμα του κεφαλαίου είναι η δήλωση αγάπης του Evgeny για την Τατιάνα - η γραμμή "Το να χλωμιάζεις και να ξεθωριάζεις... αυτό είναι ευδαιμονία!" Αυτή η γραμμή χωρίζει ολόκληρο το όγδοο κεφάλαιο σε δύο μέρη: το πρώτο έχει 477 γραμμές και το δεύτερο έχει 295 γραμμές. Η αναλογία τους είναι 1,617! Η καλύτερη αντιστοιχία στην αξία της χρυσής αναλογίας! Αυτό είναι ένα μεγάλο θαύμα αρμονίας που πέτυχε η ιδιοφυΐα του Πούσκιν!».

Ο E. Rosenov ανέλυσε πολλά από τα ποιητικά έργα του M.Yu. Lermontov, Schiller, A.K. Τολστόι και ανακάλυψε επίσης τη «χρυσή τομή» σε αυτά.

Το διάσημο ποίημα του Lermontov "Borodino" χωρίζεται σε δύο μέρη: μια εισαγωγή που απευθύνεται στον αφηγητή, που καταλαμβάνει μόνο μια στροφή ("Πες μου, θείε, δεν είναι χωρίς λόγο...") και το κύριο μέρος, που αντιπροσωπεύει ένα ανεξάρτητο σύνολο, που χωρίζεται σε δύο ίσα μέρη. Το πρώτο από αυτά περιγράφει, με αυξανόμενη ένταση, την προσμονή της μάχης, το δεύτερο περιγράφει την ίδια τη μάχη, με σταδιακή μείωση της έντασης προς το τέλος του ποιήματος. Το όριο μεταξύ αυτών των τμημάτων είναι το σημείο κορύφωσης του έργου και πέφτει ακριβώς στο σημείο της διαίρεσης από τη χρυσή τομή.

Το κύριο μέρος του ποιήματος αποτελείται από 13 επτά γραμμές, δηλαδή 91 γραμμές. Έχοντας το διαιρέσει με τη χρυσή τομή (91:1.618=56.238), είμαστε πεπεισμένοι ότι το σημείο διαίρεσης βρίσκεται στην αρχή του 57ου στίχου, όπου υπάρχει μια σύντομη φράση: "Λοιπόν, ήταν μια μέρα!" Είναι αυτή η φράση που αντιπροσωπεύει το «σημείο κορύφωσης της ενθουσιασμένης προσμονής», ολοκληρώνοντας το πρώτο μέρος του ποιήματος (προσμονή της μάχης) και ανοίγοντας το δεύτερο μέρος του (περιγραφή της μάχης).

Έτσι, η χρυσή τομή παίζει πολύ ουσιαστικό ρόλο στην ποίηση, αναδεικνύοντας την κορύφωση του ποιήματος.

Πολλοί ερευνητές του ποιήματος του Shota Rustaveli «The Knight in the Skin of a Tiger» σημειώνουν την εξαιρετική αρμονία και τη μελωδία του στίχου του. Αυτές οι ιδιότητες του ποιήματος του Γεωργιανού επιστήμονα, ακαδημαϊκού G.V. Ο Τσερετέλη αποδίδεται στη συνειδητή χρήση της χρυσής τομής από τον ποιητή τόσο στη διαμόρφωση της μορφής του ποιήματος όσο και στην κατασκευή των στίχων του.

Το ποίημα του Ρουσταβέλι αποτελείται από 1587 στροφές, καθεμία από τις οποίες αποτελείται από τέσσερις γραμμές. Κάθε γραμμή αποτελείται από 16 συλλαβές και χωρίζεται σε δύο ίσα μέρη των 8 συλλαβών σε κάθε ημίστιχο. Όλα τα ημίστιχα χωρίζονται σε δύο τμήματα δύο τύπων: Α - ημίστιχο με ίσα τμήματα και ζυγό αριθμό συλλαβών (4+4). Το Β είναι ένα ημίστιχο με ασύμμετρη διαίρεση σε δύο άνισα μέρη (5+3 ή 3+5). Έτσι, στο ημίστιχο Β η αναλογία είναι 3:5:8, που είναι μια προσέγγιση της χρυσής αναλογίας.

Έχει διαπιστωθεί ότι στο ποίημα του Rustaveli, από τις 1587 στροφές, περισσότερες από τις μισές (863) είναι κατασκευασμένες σύμφωνα με την αρχή της χρυσής τομής.

Στην εποχή μας, γεννήθηκε μια νέα μορφή τέχνης - ο κινηματογράφος, που απορρόφησε το δράμα της δράσης, της ζωγραφικής και της μουσικής. Είναι θεμιτό να αναζητούμε εκδηλώσεις της χρυσής τομής σε εξαιρετικά έργα του κινηματογράφου. Ο πρώτος που το έκανε αυτό ήταν ο δημιουργός του αριστουργήματος του παγκόσμιου κινηματογράφου «Θωρηκτό Ποτέμκιν», σκηνοθέτης Σεργκέι Αϊζενστάιν. Κατά την κατασκευή αυτής της εικόνας, κατάφερε να ενσωματώσει τη βασική αρχή της αρμονίας - τη χρυσή τομή. Όπως σημειώνει ο ίδιος ο Αϊζενστάιν, η κόκκινη σημαία στον ιστό του στασιαστικού θωρηκτού (η κορύφωση της ταινίας) κυματίζει στο σημείο της χρυσής αναλογίας, μετρημένη από το τέλος της ταινίας.

ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΙΑ ΣΕ ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ ΚΑΙ ΟΙΚΙΑΚΟΥ ΕΙΔΗ

Ένα ιδιαίτερο είδος καλών τεχνών της Αρχαίας Ελλάδας θα πρέπει να αναδειχθεί στην παραγωγή και ζωγραφική κάθε είδους αγγείων. Σε κομψή φόρμα, οι αναλογίες της χρυσής τομής μαντεύονται εύκολα.

Στη ζωγραφική και τη γλυπτική ναών και σε είδη οικιακής χρήσης, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι απεικόνιζαν συχνότερα θεούς και Φαραώ. Καθιερώθηκαν οι κανόνες απεικόνισης ατόμου όρθιο, να περπατά, να κάθεται κ.λπ. Οι καλλιτέχνες έπρεπε να απομνημονεύουν μεμονωμένες φόρμες και μοτίβα εικόνων χρησιμοποιώντας πίνακες και δείγματα. Οι καλλιτέχνες της Αρχαίας Ελλάδας έκαναν ειδικά ταξίδια στην Αίγυπτο για να μάθουν πώς να χρησιμοποιούν τον κανόνα.

ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

Είναι γνωστό ότι το μέγιστο ένταση ήχου, που προκαλεί πόνο, ισούται με 130 ντεσιμπέλ. Αν διαιρέσουμε αυτό το διάστημα με τη χρυσή αναλογία 1,618, παίρνουμε 80 ντεσιμπέλ, που είναι τυπικά για την ένταση μιας ανθρώπινης κραυγής. Αν τώρα διαιρέσουμε τα 80 ντεσιμπέλ με τη χρυσή τομή, θα έχουμε 50 ντεσιμπέλ, που αντιστοιχεί στον όγκο της ανθρώπινης ομιλίας. Τέλος, αν διαιρέσουμε 50 ντεσιμπέλ με το τετράγωνο της χρυσής αναλογίας 2,618, παίρνουμε 20 ντεσιμπέλ, που αντιστοιχεί σε έναν ανθρώπινο ψίθυρο. Έτσι, όλες οι χαρακτηριστικές παράμετροι της έντασης του ήχου συνδέονται μεταξύ τους μέσω της χρυσής αναλογίας.

Σε θερμοκρασία 18-20 0 C μεσοδιάστημα υγρασίαΤο 40-60% θεωρείται βέλτιστο. Τα όρια του εύρους βέλτιστης υγρασίας μπορούν να ληφθούν εάν η απόλυτη υγρασία 100% διαιρεθεί δύο φορές με τη χρυσή αναλογία: 100/2,618 = 38,2% (κατώτερο όριο). 100/1.618=61,8% (ανώτατο όριο).

Στο πίεση αέρα 0,5 MPa, ένα άτομο βιώνει δυσάρεστες αισθήσεις, η σωματική και ψυχολογική του δραστηριότητα επιδεινώνεται. Σε πίεση 0,3-0,35 MPa, επιτρέπεται μόνο βραχυπρόθεσμη εργασία και σε πίεση 0,2 MPa, επιτρέπεται η εργασία για όχι περισσότερο από 8 λεπτά. Όλες αυτές οι χαρακτηριστικές παράμετροι συνδέονται μεταξύ τους με τη χρυσή αναλογία: 0,5/1,618 = 0,31 MPa. 0,5/2,618=0,19 MPa.

Παράμετροι ορίων εξωτερική θερμοκρασία αέρα, εντός του οποίου η κανονική ύπαρξη (και, κυρίως, η προέλευση έχει καταστεί δυνατή) ενός ατόμου είναι δυνατή είναι το εύρος θερμοκρασίας από 0 έως + (57-58) 0 C. Προφανώς, δεν χρειάζεται να δοθούν εξηγήσεις για το πρώτο όριο.

Ας διαιρέσουμε το υποδεικνυόμενο εύρος θετικών θερμοκρασιών με τη χρυσή τομή. Σε αυτήν την περίπτωση, λαμβάνουμε δύο όρια (και τα δύο όρια είναι θερμοκρασίες χαρακτηριστικές του ανθρώπινου σώματος): το πρώτο αντιστοιχεί στη θερμοκρασία, το δεύτερο όριο αντιστοιχεί στη μέγιστη δυνατή θερμοκρασία εξωτερικού αέρα για το ανθρώπινο σώμα.

ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ

Πίσω στην Αναγέννηση, οι καλλιτέχνες ανακάλυψαν ότι κάθε εικόνα έχει ορισμένα σημεία που προσελκύουν ακούσια την προσοχή μας, τα λεγόμενα οπτικά κέντρα. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν έχει σημασία ποια μορφή έχει η εικόνα - οριζόντια ή κάθετη. Υπάρχουν μόνο τέσσερα τέτοια σημεία και βρίσκονται σε απόσταση 3/8 και 5/8 από τις αντίστοιχες άκρες του επιπέδου.

Αυτή η ανακάλυψη ονομάστηκε «χρυσή τομή» του πίνακα από καλλιτέχνες εκείνης της εποχής.

Προχωρώντας σε παραδείγματα της «χρυσής τομής» στη ζωγραφική, δεν μπορούμε παρά να επικεντρωθούμε στο έργο του Λεονάρντο ντα Βίντσι. Η προσωπικότητά του είναι ένα από τα μυστήρια της ιστορίας. Ο ίδιος ο Λεονάρντο ντα Βίντσι είπε: «Κανείς που δεν είναι μαθηματικός να μην τολμήσει να διαβάσει τα έργα μου».

Απέκτησε φήμη ως ένας αξεπέραστος καλλιτέχνης, ένας σπουδαίος επιστήμονας, μια ιδιοφυΐα που περίμενε πολλές εφευρέσεις που δεν πραγματοποιήθηκαν μέχρι τον 20ο αιώνα.

Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι ο Λεονάρντο ντα Βίντσι ήταν ένας σπουδαίος καλλιτέχνης, αυτό είχε ήδη αναγνωριστεί από τους συγχρόνους του, αλλά η προσωπικότητα και οι δραστηριότητές του θα παραμείνουν τυλιγμένες στο μυστήριο, αφού άφησε στους απογόνους του όχι μια συνεκτική παρουσίαση των ιδεών του, αλλά μόνο πολλές χειρόγραφες σκίτσα, σημειώσεις που λένε «για τα πάντα στον κόσμο».

Έγραφε από δεξιά προς τα αριστερά με δυσανάγνωστο χειρόγραφο και με το αριστερό του χέρι. Αυτό είναι το πιο διάσημο υπάρχον παράδειγμα καθρέφτη γραφής.

Το πορτρέτο της Monna Lisa (La Gioconda) έχει προσελκύσει την προσοχή των ερευνητών για πολλά χρόνια, οι οποίοι ανακάλυψαν ότι η σύνθεση της εικόνας βασίζεται σε χρυσά τρίγωνα, τα οποία αποτελούν μέρη ενός κανονικού πενταγώνου σε σχήμα αστεριού. Υπάρχουν πολλές εκδοχές για την ιστορία αυτού του πορτρέτου. Εδώ είναι ένα από αυτά.

Μια μέρα, ο Λεονάρντο ντα Βίντσι έλαβε εντολή από τον τραπεζίτη Francesco dele Giocondo να ζωγραφίσει ένα πορτρέτο μιας νεαρής γυναίκας, της συζύγου του τραπεζίτη, Monna Lisa. Η γυναίκα δεν ήταν όμορφη, αλλά την έλκυε η απλότητα και η φυσικότητα της εμφάνισής της. Ο Λεονάρντο συμφώνησε να ζωγραφίσει το πορτρέτο. Το μοντέλο του ήταν λυπημένο και λυπημένο, αλλά ο Λεονάρντο της είπε ένα παραμύθι, αφού το άκουσε, έγινε ζωηρή και ενδιαφέρουσα.

ΠΑΡΑΜΥΘΙ. Μια φορά κι έναν καιρό ζούσε ένας φτωχός, είχε τέσσερις γιους: οι τρεις ήταν έξυπνοι και ο ένας ήταν αυτός κι εκείνος. Και μετά ήρθε ο θάνατος για τον πατέρα. Πριν χάσει τη ζωή του, κάλεσε κοντά του τα παιδιά του και είπε: «Γιοι μου, σύντομα θα πεθάνω. Μόλις με θάψεις, κλείδωσε την καλύβα και πήγαινε στα πέρατα του κόσμου να βρεις την ευτυχία για σένα. Αφήστε τον καθένα σας να μάθει κάτι για να τρέφετε τον εαυτό σας». Ο πατέρας πέθανε και οι γιοι διασκορπίστηκαν σε όλο τον κόσμο, συμφωνώντας να επιστρέψουν στον καθαρισμό του πατρικού τους άλσους τρία χρόνια αργότερα. Ήρθε ο πρώτος αδερφός, που έμαθε ξυλουργός, έκοψε ένα δέντρο και το έκοψε, έφτιαξε μια γυναίκα, έφυγε λίγο και περίμενε. Ο δεύτερος αδερφός γύρισε, είδε την ξύλινη γυναίκα και, αφού ήταν ράφτης, την έντυσε σε ένα λεπτό: σαν επιδέξιος τεχνίτης, της έραψε όμορφα μεταξωτά ρούχα. Ο τρίτος γιος στόλισε τη γυναίκα με χρυσάφι και πολύτιμους λίθους - άλλωστε ήταν κοσμηματοπώλης. Τελικά ήρθε ο τέταρτος αδερφός. Δεν ήξερε να ξυλουργεί ή να ράβει, ήξερε μόνο να ακούει τι έλεγε η γη, τα δέντρα, το γρασίδι, τα ζώα και τα πουλιά, ήξερε τις κινήσεις των ουράνιων σωμάτων και ήξερε επίσης να τραγουδά υπέροχα τραγούδια. Τραγούδησε ένα τραγούδι που έκανε τα αδέρφια που κρύβονταν πίσω από τους θάμνους να κλαίνε. Με αυτό το τραγούδι ξαναζωντάνεψε τη γυναίκα, χαμογέλασε και αναστέναξε. Τα αδέρφια όρμησαν κοντά της και ο καθένας φώναξε το ίδιο πράγμα: «Πρέπει να είσαι γυναίκα μου». Αλλά η γυναίκα απάντησε: «Με δημιούργησες - γίνε ο πατέρας μου. Με ντύσατε και με στόλισατε - γίνετε αδέρφια μου. Κι εσύ, που μου εμφύσησες την ψυχή μου και με έμαθες να απολαμβάνω τη ζωή, είσαι ο μόνος που χρειάζομαι για το υπόλοιπο της ζωής μου».

Αφού τελείωσε το παραμύθι, ο Λεονάρντο κοίταξε τη Μόνα Λίζα, με το πρόσωπό της φωτισμένο από φως, τα μάτια της έλαμψαν. Έπειτα, σαν να ξύπνησε από ένα όνειρο, αναστέναξε, πέρασε το χέρι της στο πρόσωπό της και χωρίς λέξη πήγε στη θέση της, σταύρωσε τα χέρια της και πήρε τη συνηθισμένη της στάση. Αλλά η δουλειά έγινε - ο καλλιτέχνης ξύπνησε το αδιάφορο άγαλμα. ένα χαμόγελο ευδαιμονίας, που χάθηκε αργά από το πρόσωπό της, έμεινε στις γωνίες του στόματός της και έτρεμε, δίνοντας στο πρόσωπό της μια εκπληκτική, μυστηριώδη και ελαφρώς πονηρή έκφραση, όπως αυτή ενός ανθρώπου που έμαθε ένα μυστικό και, κρατώντας το προσεκτικά, δεν μπορεί συγκρατήσει τον θρίαμβό του. Ο Λεονάρντο δούλευε σιωπηλά, φοβούμενος να χάσει αυτή τη στιγμή, αυτή την αχτίδα του ήλιου που φώτιζε το βαρετό του μοντέλο...

Είναι δύσκολο να πούμε τι παρατηρήθηκε σε αυτό το αριστούργημα τέχνης, αλλά όλοι μίλησαν για τη βαθιά γνώση του Λεονάρντο για τη δομή του ανθρώπινου σώματος, χάρη στην οποία μπόρεσε να συλλάβει αυτό το φαινομενικά μυστηριώδες χαμόγελο. Μίλησαν για την εκφραστικότητα μεμονωμένων τμημάτων της εικόνας και για το τοπίο, έναν άνευ προηγουμένου σύντροφο του πορτρέτου. Μίλησαν για τη φυσικότητα της έκφρασης, την απλότητα της πόζας, την ομορφιά των χεριών. Ο καλλιτέχνης έκανε κάτι πρωτόγνωρο: η εικόνα απεικονίζει αέρα, τυλίγει τη φιγούρα σε μια διαφανή ομίχλη. Παρά την επιτυχία, η κατάσταση στη Φλωρεντία φαινόταν οδυνηρή για τον καλλιτέχνη. Οι υπενθυμίσεις για την εισροή παραγγελιών δεν τον βοήθησαν.

Η χρυσή τομή στον πίνακα του Ι.Ι. Shishkin "Άλσος Πεύκων". Σε αυτόν τον διάσημο πίνακα του I.I. Ο Σίσκιν δείχνει ξεκάθαρα τα κίνητρα της χρυσής αναλογίας. Ένα ηλιόλουστο πεύκο (που στέκεται στο προσκήνιο) διαιρεί το μήκος της εικόνας σύμφωνα με τη χρυσή τομή. Στα δεξιά του πεύκου βρίσκεται ένας ηλιόλουστος λόφος. Χωρίζει τη δεξιά πλευρά της εικόνας οριζόντια σύμφωνα με τη χρυσή τομή. Στα αριστερά του κύριου πεύκου υπάρχουν πολλά πεύκα - αν θέλετε, μπορείτε να συνεχίσετε με επιτυχία τη διαίρεση της εικόνας σύμφωνα με τη χρυσή αναλογία περαιτέρω.

Άλσος Πεύκων

Η παρουσία στην εικόνα φωτεινών κατακόρυφων και οριζόντιων, διαιρώντας την σε σχέση με τη χρυσή τομή, της προσδίδει έναν χαρακτήρα ισορροπίας και ηρεμίας σύμφωνα με την πρόθεση του καλλιτέχνη. Όταν η πρόθεση του καλλιτέχνη είναι διαφορετική, αν, ας πούμε, δημιουργήσει μια εικόνα με ταχέως αναπτυσσόμενη δράση, ένα τέτοιο σχήμα γεωμετρικής σύνθεσης (με επικράτηση κάθετων και οριζόντιων) γίνεται απαράδεκτο.

ΣΕ ΚΑΙ. Σουρίκοφ. "Boyaryna Morozova"

Ο ρόλος της δίνεται στο μεσαίο μέρος της εικόνας. Δεσμεύεται από το σημείο της υψηλότερης ανόδου και το σημείο της χαμηλότερης πτώσης της πλοκής της εικόνας: η άνοδος του χεριού της Μορόζοβα με το διπλό δάχτυλο του σταυρού ως το υψηλότερο σημείο. ένα χέρι απλωμένο αβοήθητα στην ίδια αρχόντισσα, αλλά αυτή τη φορά το χέρι μιας ηλικιωμένης γυναίκας - μιας περιπλανώμενης ζητιάνας, ένα χέρι από κάτω από το οποίο, μαζί με την τελευταία ελπίδα της σωτηρίας, γλιστράει και η άκρη του ελκήθρου.

Τι γίνεται με το «υψηλότερο σημείο»; Εκ πρώτης όψεως, έχουμε μια φαινομενική αντίφαση: τελικά, το τμήμα A 1 B 1, σε απόσταση 0,618... από τη δεξιά άκρη της εικόνας, δεν περνά από το χέρι, ούτε καν από το κεφάλι ή το μάτι της αρχόντισσας, αλλά καταλήγει κάπου μπροστά στο στόμα της αρχόντισσας.

Η χρυσή τομή πραγματικά κόβει στο πιο σημαντικό πράγμα εδώ. Σε αυτόν, και ακριβώς σε αυτόν, βρίσκεται η μεγαλύτερη δύναμη της Μορόζοβα.

Δεν υπάρχει πιο ποιητικός πίνακας από αυτόν του Μποτιτσέλι Σάντρο και ο μεγάλος Σάντρο δεν έχει πιο διάσημο πίνακα από την «Αφροδίτη» του. Για τον Μποτιτσέλι, η Αφροδίτη του είναι η ενσάρκωση της ιδέας της καθολικής αρμονίας της «χρυσής τομής» που κυριαρχεί στη φύση. Η αναλογική ανάλυση της Αφροδίτης μας πείθει για αυτό.

Αφροδίτη

Ραφαήλ «Η Σχολή των Αθηνών». Ο Ραφαήλ δεν ήταν μαθηματικός, αλλά, όπως πολλοί καλλιτέχνες εκείνης της εποχής, είχε σημαντικές γνώσεις γεωμετρίας. Στη διάσημη τοιχογραφία «Η Σχολή των Αθηνών», όπου η παρέα των μεγάλων φιλοσόφων της αρχαιότητας περιμένει στο ναό της επιστήμης, την προσοχή μας τραβάει η ομάδα του Ευκλείδη, του μεγαλύτερου αρχαίου Έλληνα μαθηματικού, που αναλύει ένα περίπλοκο σχέδιο.

Ο έξυπνος συνδυασμός δύο τριγώνων κατασκευάζεται επίσης σύμφωνα με την αναλογία της χρυσής τομής: μπορεί να εγγραφεί σε ένα ορθογώνιο με λόγο διαστάσεων 5/8. Αυτό το σχέδιο είναι εκπληκτικά εύκολο να εισαχθεί στο επάνω τμήμα της αρχιτεκτονικής. Η επάνω γωνία του τριγώνου στηρίζεται στον θεμέλιο λίθο της αψίδας στην περιοχή που βρίσκεται πιο κοντά στον θεατή, η κάτω στο σημείο φυγής των προοπτικών και το πλευρικό τμήμα υποδεικνύει τις αναλογίες του χωρικού χάσματος μεταξύ των δύο τμημάτων των τόξων .

Χρυσή σπείρα στον πίνακα του Ραφαήλ «Massacre of the Innocents». Σε αντίθεση με τη χρυσή τομή, η αίσθηση της δυναμικής και του ενθουσιασμού εκδηλώνεται, ίσως, πιο έντονα σε ένα άλλο απλό γεωμετρικό σχήμα - μια σπείρα. Η πολυμορφική σύνθεση, που εκτελέστηκε το 1509 - 1510 από τον Ραφαήλ, όταν ο διάσημος ζωγράφος δημιούργησε τις τοιχογραφίες του στο Βατικανό, διακρίνεται επακριβώς από τον δυναμισμό και τη δραματικότητα της πλοκής. Ο Ραφαήλ δεν ολοκλήρωσε ποτέ το σχέδιό του, αλλά το σκίτσο του χαράχθηκε από τον άγνωστο Ιταλό γραφίστα Marcantinio Raimondi, ο οποίος, με βάση αυτό το σκίτσο, δημιούργησε το χαρακτικό «Massacre of the Innocents».

Σφαγή αθώων

Εάν, στο προπαρασκευαστικό σκίτσο του Ραφαήλ, σχεδιάζουμε νοερά γραμμές που τρέχουν από το σημασιολογικό κέντρο της σύνθεσης - το σημείο όπου τα δάχτυλα του πολεμιστή έκλεισαν γύρω από τον αστράγαλο του παιδιού, κατά μήκος των φιγούρων του παιδιού, της γυναίκας που το κρατά κοντά, του πολεμιστή με ανασηκωμένο σπαθί και, στη συνέχεια, κατά μήκος των φιγούρων της ίδιας ομάδας στη δεξιά πλευρά σκίτσο (στο σχήμα αυτές οι γραμμές σχεδιάζονται με κόκκινο χρώμα) και στη συνέχεια συνδέστε αυτά τα κομμάτια με μια καμπύλη διακεκομμένη γραμμή και στη συνέχεια με πολύ μεγάλη ακρίβεια λαμβάνεται μια χρυσή σπείρα. Αυτό μπορεί να ελεγχθεί μετρώντας την αναλογία των μηκών των τμημάτων που κόβονται από μια σπείρα σε ευθείες γραμμές που διέρχονται από την αρχή της καμπύλης.

ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΛΗΨΗ ΕΙΚΟΝΑΣ

Η ικανότητα του ανθρώπινου οπτικού αναλυτή να αναγνωρίζει αντικείμενα που κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο της χρυσής αναλογίας ως όμορφα, ελκυστικά και αρμονικά είναι γνωστή εδώ και πολύ καιρό. Η χρυσή τομή δίνει την αίσθηση του πιο τέλειου συνόλου. Η μορφή πολλών βιβλίων ακολουθεί τη χρυσή τομή. Επιλέγεται για παράθυρα, πίνακες ζωγραφικής και φακέλους, γραμματόσημα, επαγγελματικές κάρτες. Ένα άτομο μπορεί να μην γνωρίζει τίποτα για τον αριθμό F, αλλά στη δομή των αντικειμένων, καθώς και στην ακολουθία των γεγονότων, βρίσκει υποσυνείδητα στοιχεία της χρυσής αναλογίας.

Έχουν διεξαχθεί μελέτες στις οποίες ζητήθηκε από τα υποκείμενα να επιλέξουν και να αντιγράψουν ορθογώνια διαφόρων αναλογιών. Υπήρχαν τρία ορθογώνια για να διαλέξετε: ένα τετράγωνο (40:40 mm), ένα ορθογώνιο "χρυσής αναλογίας" με λόγο διαστάσεων 1:1,62 (31:50 mm) και ένα ορθογώνιο με επιμήκεις αναλογίες 1:2,31 (26:60 mm).

Όταν επιλέγετε ορθογώνια σε κανονική κατάσταση, στο 1/2 των περιπτώσεων προτιμάται το τετράγωνο. Το δεξί ημισφαίριο προτιμά τη χρυσή τομή και απορρίπτει το επίμηκες ορθογώνιο. Αντίθετα, το αριστερό ημισφαίριο έλκεται προς επιμήκεις αναλογίες και απορρίπτει τη χρυσή τομή.

Κατά την αντιγραφή αυτών των ορθογωνίων, παρατηρήθηκαν τα εξής: όταν το δεξί ημισφαίριο ήταν ενεργό, οι αναλογίες στα αντίγραφα διατηρήθηκαν με τη μεγαλύτερη ακρίβεια. όταν το αριστερό ημισφαίριο ήταν ενεργό, οι αναλογίες όλων των ορθογωνίων παραμορφώθηκαν, τα ορθογώνια ήταν επιμήκη (το τετράγωνο σχεδιάστηκε ως ορθογώνιο με λόγο διαστάσεων 1:1,2, οι αναλογίες του επιμήκους ορθογωνίου αυξήθηκαν απότομα και έφτασαν το 1:2,8) . Οι αναλογίες του «χρυσού» ορθογωνίου παραμορφώθηκαν περισσότερο. οι αναλογίες του σε αντίγραφα έγιναν οι αναλογίες ενός ορθογωνίου 1:2,08.

Όταν σχεδιάζετε τις δικές σας εικόνες, επικρατούν αναλογίες κοντά στη χρυσή αναλογία και επιμήκεις. Κατά μέσο όρο, οι αναλογίες είναι 1:2, με το δεξί ημισφαίριο να δίνει προτίμηση στις αναλογίες της χρυσής τομής, το αριστερό ημισφαίριο να απομακρύνεται από τις αναλογίες της χρυσής τομής και να βγάζει το σχέδιο.

Τώρα σχεδιάστε μερικά ορθογώνια, μετρήστε τις πλευρές τους και βρείτε την αναλογία διαστάσεων. Ποιο ημισφαίριο είναι κυρίαρχο για εσάς;

ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ

Ένα παράδειγμα χρήσης της χρυσής τομής στη φωτογραφία είναι η τοποθέτηση βασικών εξαρτημάτων του κάδρου σε σημεία που βρίσκονται 3/8 και 5/8 από τις άκρες του κάδρου. Αυτό μπορεί να διευκρινιστεί με το ακόλουθο παράδειγμα: μια φωτογραφία μιας γάτας, η οποία βρίσκεται σε αυθαίρετη θέση στο πλαίσιο.

Τώρα ας χωρίσουμε υπό όρους το πλαίσιο σε τμήματα, σε αναλογία με 1,62 συνολικά μήκη από κάθε πλευρά του πλαισίου. Στη διασταύρωση των τμημάτων θα υπάρχουν τα κύρια "οπτικά κέντρα" στα οποία αξίζει να τοποθετήσετε τα απαραίτητα βασικά στοιχεία της εικόνας. Ας μετακινήσουμε τη γάτα μας στα σημεία των «οπτικών κέντρων».

ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΧΩΡΟΣ

Από την ιστορία της αστρονομίας είναι γνωστό ότι ο Ι. Τίτιος, Γερμανός αστρονόμος του 18ου αιώνα, με τη βοήθεια αυτής της σειράς, βρήκε ένα μοτίβο και μια τάξη στις αποστάσεις μεταξύ των πλανητών του ηλιακού συστήματος.

Ωστόσο, μια περίπτωση που φαινόταν να έρχεται σε αντίθεση με το νόμο: δεν υπήρχε πλανήτης μεταξύ του Άρη και του Δία. Η εστιασμένη παρατήρηση αυτού του τμήματος του ουρανού οδήγησε στην ανακάλυψη της ζώνης των αστεροειδών. Αυτό συνέβη μετά το θάνατο του Τίτιου στις αρχές του 19ου αιώνα. Η σειρά Fibonacci χρησιμοποιείται ευρέως: χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει την αρχιτεκτονική των ζωντανών όντων, τις ανθρωπογενείς δομές και τη δομή των Γαλαξιών. Αυτά τα γεγονότα αποτελούν απόδειξη της ανεξαρτησίας της αριθμητικής σειράς από τις συνθήκες εκδήλωσής της, που είναι ένα από τα σημάδια της καθολικότητάς της.

Οι δύο Χρυσές Σπείρες του γαλαξία είναι συμβατές με το αστέρι του Δαβίδ.

Παρατηρήστε τα αστέρια που αναδύονται από τον γαλαξία σε μια λευκή σπείρα. Ακριβώς 180 0 από μια από τις σπείρες αναδύεται μια άλλη εκτυλισσόμενη σπείρα... Για πολύ καιρό, οι αστρονόμοι απλώς πίστευαν ότι ό,τι υπάρχει εκεί είναι αυτό που βλέπουμε. αν κάτι είναι ορατό, τότε υπάρχει. Είτε αγνοούσαν εντελώς το αόρατο κομμάτι της Πραγματικότητας, είτε δεν το θεωρούσαν σημαντικό. Αλλά η αόρατη πλευρά της Πραγματικότητας μας είναι στην πραγματικότητα πολύ μεγαλύτερη από την ορατή πλευρά και είναι πιθανώς πιο σημαντική... Με άλλα λόγια, το ορατό μέρος της Πραγματικότητας είναι πολύ λιγότερο από το ένα τοις εκατό του συνόλου - σχεδόν τίποτα. Στην πραγματικότητα, το πραγματικό μας σπίτι είναι το αόρατο σύμπαν...

Στο Σύμπαν, όλοι οι γαλαξίες που είναι γνωστοί στην ανθρωπότητα και όλα τα σώματα σε αυτούς υπάρχουν με τη μορφή μιας σπείρας, που αντιστοιχεί στον τύπο της χρυσής αναλογίας. Η χρυσή τομή βρίσκεται στη σπείρα του γαλαξία μας

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η φύση, κατανοητή ως ολόκληρος ο κόσμος στην ποικιλομορφία των μορφών της, αποτελείται, όπως ήταν, από δύο μέρη: τη ζωντανή και την άψυχη φύση. Τα δημιουργήματα άψυχης φύσης χαρακτηρίζονται από υψηλή σταθερότητα και χαμηλή μεταβλητότητα, κρίνοντας από την κλίμακα της ανθρώπινης ζωής. Ένας άνθρωπος γεννιέται, ζει, γερνά, πεθαίνει, αλλά τα γρανιτένια βουνά παραμένουν ίδια και οι πλανήτες περιστρέφονται γύρω από τον Ήλιο με τον ίδιο τρόπο όπως στην εποχή του Πυθαγόρα.

Ο κόσμος της ζωντανής φύσης μας φαίνεται εντελώς διαφορετικός - κινητός, ευμετάβλητος και εκπληκτικά διαφορετικός. Η ζωή μας δείχνει ένα φανταστικό καρναβάλι διαφορετικότητας και μοναδικότητας δημιουργικών συνδυασμών! Ο κόσμος της άψυχης φύσης είναι πρώτα απ' όλα ένας κόσμος συμμετρίας, που δίνει στις δημιουργίες του σταθερότητα και ομορφιά. Ο φυσικός κόσμος είναι, πρώτα απ' όλα, ένας κόσμος αρμονίας, στον οποίο λειτουργεί ο «νόμος της χρυσής τομής».

Στον σύγχρονο κόσμο, η επιστήμη έχει ιδιαίτερη σημασία λόγω της αυξανόμενης επίδρασης του ανθρώπου στη φύση. Σημαντικά καθήκοντα στην παρούσα φάση είναι η αναζήτηση νέων τρόπων συνύπαρξης ανθρώπου και φύσης, η μελέτη φιλοσοφικών, κοινωνικών, οικονομικών, εκπαιδευτικών και άλλων προβλημάτων που αντιμετωπίζει η κοινωνία.

Αυτό το έργο εξέτασε την επίδραση των ιδιοτήτων της «χρυσής τομής» στη ζωντανή και μη ζωντανή φύση, στην ιστορική πορεία εξέλιξης της ιστορίας της ανθρωπότητας και του πλανήτη συνολικά. Αναλύοντας όλα τα παραπάνω, μπορείτε για άλλη μια φορά να θαυμάσετε το τεράστιο μέγεθος της διαδικασίας κατανόησης του κόσμου, την ανακάλυψη των συνεχώς νέων προτύπων του και να καταλήξετε στο συμπέρασμα: η αρχή της χρυσής τομής είναι η υψηλότερη εκδήλωση της δομικής και λειτουργικής τελειότητας του σύνολο και τα μέρη του στην τέχνη, την επιστήμη, την τεχνολογία και τη φύση. Αναμένεται ότι οι νόμοι ανάπτυξης διαφόρων φυσικών συστημάτων, οι νόμοι της ανάπτυξης, δεν είναι πολύ διαφορετικοί και μπορούν να εντοπιστούν σε μια μεγάλη ποικιλία σχηματισμών. Εδώ εκδηλώνεται η ενότητα της φύσης. Η ιδέα μιας τέτοιας ενότητας, που βασίζεται στην εκδήλωση των ίδιων προτύπων σε ετερογενή φυσικά φαινόμενα, έχει διατηρήσει τη συνάφειά της από τον Πυθαγόρα μέχρι σήμερα.