Classe: 11

Presentazione della lezione

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Attenzione! Le anteprime delle diapositive sono solo a scopo informativo e potrebbero non rappresentare tutte le funzionalità della presentazione. Se sei interessato a quest'opera, scarica la versione completa.

Obiettivi della lezione: ricavare una formula per calcolare le aree delle figure piane utilizzando un integrale definito; sviluppare la capacità di calcolare le aree delle figure piane utilizzando un integrale definito; ripetere note e fornire nuove informazioni dalla storia del calcolo integrale; Preparazione per l'esame; continuare a lavorare sullo sviluppo dell'attenzione, della parola, del pensiero logico e dell'accuratezza nella scrittura; migliorare la cultura grafica; continuare a lavorare sullo sviluppo delle capacità creative degli studenti; aumentare l'interesse per lo studio della matematica;

Attrezzatura: proiettore multimediale, schermo, presentazione sull'argomento, sviluppata in ambiente Power Point.

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo, messaggio dell'argomento e scopo della lezione.

II. Controllo dei compiti.

Controllo dei compiti aggiuntivi (l'insegnante mostra la soluzione su un disegno precedentemente preparato, la soluzione è sul retro della lavagna):

Calcola l'area della figura delimitata dai grafici delle funzioni y = 1+ 3cos(x/2), x = -π/2, x = 3π/2, y = 0

III. Aggiornamento delle conoscenze di base.

1. Lavoro orale(Diapositive 3-4)

1. Utilizzando l'integrale, esprimi le aree delle figure mostrate nelle figure:
2. Calcola gli integrali:

2. Un po' di storia. ( Diapositive 5-9)

Un frammento del progetto informatico di uno studente sul tema “Dalla storia del calcolo integrale”.

1 studente

Integrante- uno dei concetti più importanti della matematica, nato in connessione con la necessità, da un lato, di trovare funzioni mediante i loro derivati ​​e, dall'altro, di misurare aree, volumi, lunghezze di archi, il lavoro delle forze su un certo periodo di tempo, ecc.

La parola integrale stessa è stata inventata da J. Bernoulli(1690). Viene dal latino intero, tradotto come riportare allo stato precedente, ripristinare.

Altri termini relativi al calcolo integrale che potresti conoscere apparvero molto più tardi. Nome corrente funzione antiderivativa sostituito uno precedente "funzione primitiva", introdotto da Joseph Louis Lagrangiano(1797). Parola latina primitivo tradotto come "iniziale".

L'emergere di problemi di calcolo integrale è associato alla ricerca di aree e volumi. Numerosi problemi di questo tipo furono risolti dai matematici dell'antica Grecia. Il primo metodo conosciuto per il calcolo degli integrali è il metodo di esaurimento di Eudosso ( circa 370 a.C a.C.), che cercavano di trovare aree e volumi scomponendoli in un numero infinito di parti di cui era già nota l'area o il volume. Questo metodo fu ripreso e sviluppato da Archimede, e veniva utilizzato per calcolare le aree delle parabole e approssimare l'area di un cerchio.

Tuttavia, Archimede non ha identificato il contenuto generale delle tecniche di integrazione e dei concetti di integrale, tanto meno ha creato un algoritmo per il calcolo integrale.

Le opere di Archimede, scritte per la prima volta nel 1544, furono uno dei punti di partenza più importanti per lo sviluppo del calcolo integrale.

2 studenti

Il concetto di integrale è direttamente correlato al calcolo integrale, branca della matematica che si occupa dello studio degli integrali, delle loro proprietà e dei metodi di calcolo.

Ci siamo avvicinati e con maggiore precisione al concetto di integrale Isacco Newton. Fu il primo a costruire il calcolo differenziale e integrale e lo chiamò “Metodo delle flussioni...” (1670-1671, pubblicato nel 1736). Newton diede un nome alle variabili fluenti(valori attuali, da lat. fluo – flusso). Tasso di variazione Newton fluente – flussi, e le variazioni infinitesimali delle flussioni necessarie per calcolare le flussioni sono " momenti"(Leibniz li chiamava differenziali). Pertanto, Newton basò i concetti di flussioni (derivata) e fluenti (antiderivativa o integrale indefinito).

Ciò ha immediatamente permesso di risolvere un'ampia varietà di problemi matematici e fisici.

Contemporaneamente a Newton, un altro eccezionale scienziato arrivò ad idee simili: Gottfried Wilhelm Leibniz.

Riflettendo su questioni filosofiche e matematiche, Leibniz si convinse che la matematica poteva essere il mezzo più affidabile per cercare e trovare la verità nella scienza. Il segno integrale (∫) fu usato per la prima volta da Leibniz alla fine del XVII secolo. Questo simbolo è formato dalla lettera S, un'abbreviazione della parola latina. summa(somma).

Newton e Leibniz svilupparono due interpretazioni del concetto di integrale definito ordinario.

Newton interpretò l'integrale definito come la differenza tra i valori corrispondenti della funzione antiderivativa:

,
Dove F`(x)=f(x).

Per Leibniz l’integrale definito è la somma di tutti i differenziali infinitesimi.

Si chiamava la formula che Newton e Leibniz scoprirono indipendentemente l'uno dall'altro Formula di Newton-Leibniz.

Pertanto, il concetto di integrale è stato associato ai nomi di famosi scienziati: Newton, Leibniz, Bernoulli, che hanno gettato le basi per la moderna analisi matematica.

IV. Spiegazione del nuovo materiale.

Utilizzando l'integrale è possibile calcolare le aree non solo dei trapezi curvilinei, ma anche delle figure piane di tipo più complesso.

Lasciamo la figura P limitato alle linee rette X = UN, X = B e grafici di funzioni sì = F(X) E sì = G(X) e sul segmento [ UN;B] la disuguaglianza vale G(X)F(X).

Per calcolare l’area di una figura ragioneremo come segue. Eseguiamo un trasferimento parallelo della figura P SU M unità in modo che la figura P si è rivelato situato nel piano delle coordinate sopra l'asse delle ascisse.

Ora è limitato sopra e sotto dai grafici delle funzioni sì = F(X)+M E

sì = G(X)+M, ed entrambe le funzioni sono continue e non negative sull'intervallo [ UN;B].

Indichiamo la figura risultante ABCD. La sua area può essere trovata come differenza tra le aree delle figure:

S ABCD = S aDCb – S aABb = =
=

Pertanto, l'area della figura S è delimitata da linee rette X = UN, X = B e grafici di funzioni sì = F(X) E sì = G(X), continuo sull'intervallo [ UN;B] e quelli che sono per tutti X dal segmento [ UN;B] la disuguaglianza vale G(X)F(X), calcolato dalla formula

Esempio.(Diapositiva 11) Calcola l'area della figura delimitata dalle linee sì = X, sì = 5 – X, X = 1, X = 2.

Da queste formule per calcolare l'area di una figura, seleziona quella che si adatta a uno dei sei disegni. (Diapositiva 14)

Compito 3.(Diapositiva 15) Calcola l'area della figura delimitata dal grafico della funzione sì = 0,5x2+ 2, tangente a questo grafico nel punto dell'ascissa X= -2 e dritto X = 0.

1. Creiamo un'equazione per la tangente al grafico della funzione sì = 0,5x2+ 2 all'ascissa X = -2:

sì = F(x0) + F"(x0)(x-x0)
F(-2) = 0,5∙(-2) 2 + 2 = 4
F"(X) = (0,5x2 + 2)"= X
F"(-2) = -2
sì = 4 – 2(X + 2)
sì = -2X

2. Costruiamo grafici di funzioni.

3. Trova l'area della figura ABC.

VI. Riassumendo.

• formula per calcolare le aree delle figure piane;
• scrivere formule per l'area delle figure piane utilizzando un integrale definito;
• ripetere l'equazione di una tangente al grafico di una funzione e risolvere l'equazione con un modulo;
• valutare gli studenti.

VII. Compiti a casa.

1. paragrafo 4 pp. 228-230;
2. N. 1025 (c, d), N. 1037 (c, d), N. 1038 (c, d)

libro di testo: A. G. Mordkovich “Algebra e principi di analisi 10–11”

Dalla definizione segue che per una funzione non negativa f(x) l'integrale definito è uguale all'area di un trapezio curvilineo delimitato dalla curva y = f(x), rette x = a, x = b e l'ascissa = 0 (Figura 4.1).

Se la funzione – f(x) è non positiva, allora l'integrale definito
pari all'area del corrispondente trapezio curvilineo, preso con un segno meno (Figura 4.7).

Figura 4.7 – Significato geometrico di un integrale definito per una funzione non positiva

Per una funzione continua arbitraria f(x), l'integrale definito
è uguale alla somma delle aree dei trapezi curvilinei che giacciono sotto il grafico della funzione f(x) e sopra l'asse delle ascisse, meno la somma delle aree dei trapezi curvilinei che giacciono sopra il grafico della funzione f(x) e sotto l'asse delle ascisse (Figura 4.8).

Figura 4.8 – Significato geometrico di un integrale definito per una funzione continua arbitraria f(x) (il segno più indica l'area che viene aggiunta e il segno meno indica l'area che viene sottratta).

Quando si calcolano in pratica le aree delle figure curvilinee, viene spesso utilizzata la seguente formula:
, dove S è l'area della figura racchiusa tra le curve y = f 1 (x) e y = f 2 (x) sul segmento [a,b], e f 1 (x) e f 2 (x ) sono funzioni continue definite su questo segmento, tali che f 1 (x) ≥ f 2 (x) (vedi Figure 4.9, 4.10).

Studiando il significato economico del derivato, si è scoperto che il derivato agisce come il tasso di cambiamento di alcuni oggetti o processi economici nel tempo o rispetto ad un altro fattore in studio. Per stabilire il significato economico di un certo integrale è necessario considerare questa velocità stessa in funzione del tempo o di un altro fattore. Quindi, poiché un integrale definito rappresenta un cambiamento nell'antiderivativa, otteniamo che in economia valuta il cambiamento in questo oggetto (processo) in un certo periodo di tempo (o con un certo cambiamento in un altro fattore).

Ad esempio, se la funzione q=q(t) descrive la produttività del lavoro in funzione del tempo, allora l'integrale definito di questa funzione
rappresenta il volume di produzione Q per il periodo di tempo da t 0 a t 1.

Metodi per il calcolo degli integrali definiti si basano sui metodi di integrazione discussi in precedenza (non effettueremo dimostrazioni).

Per trovare l'integrale indefinito, abbiamo utilizzato il metodo del cambiamento di variabile basato sulla formula: f(x)dx= =f((t))`(t)dt, dove x =(t) è una funzione differenziabili sul considerato in mezzo. Per un integrale definito, la formula del cambiamento di variabile assume la forma
, Dove
e per tutti.

Esempio 1. Trovare

Sia t= 2 –x 2. Quindi dt= -2xdx e xdx= - ½dt.

A x = 0 t= 2 – 0 2 = 2. A x = 1t= 2 – 1 2 = 1. Allora

Esempio 2. Trovare

Esempio 3. Trovare

La formula di integrazione per parti di un integrale definito assume la forma:
, Dove
.

Esempio 1. Trovare

Sia u=ln(1 +x),dv=dx. Poi

Esempio 2. Trovare

Calcolo delle aree delle figure piane utilizzando un integrale definito

Esempio 1. Trova l'area della figura delimitata dalle linee y = x 2 – 2 e y = x.

Il grafico della funzione y= x 2 – 2 è una parabola con punto di minimo in x= 0, y= -2; L'asse delle ascisse si interseca nei punti
. Il grafico della funzione y = x è una linea retta, bisettrice di un quadrante di coordinate non negative.

Troviamo le coordinate dei punti di intersezione della parabola y = x 2 – 2 e della retta y = x risolvendo il sistema di queste equazioni:

x2 – x-2 = 0

x = 2; y= 2 oppure x = -1;y= -1

Pertanto, la figura di cui occorre trovare l'area può essere rappresentata nella Figura 4.9.

Figura 4.9 – Figura delimitata dalle linee y = x 2 – 2 e y = x

Sul segmento [-1, 2] x ≥ x 2 – 2.

Usiamo la formula
, ponendo f 1 (x) = x; f2(x) = x2 – 2;a= -1;b= 2.

Esempio 2. Trova l'area della figura delimitata dalle linee y = 4 - x 2 e y = x 2 – 2x.

Il grafico della funzione y = 4 - x 2 è una parabola con punto massimo in x = 0, y = 4; L'asse x si interseca nei punti 2 e -2. Il grafico della funzione y = x 2 – 2x è una parabola con punto di minimo in 2x- 2 = 0, x = 1; y = -1; L'asse x si interseca nei punti 0 e 2.

Troviamo le coordinate dei punti di intersezione delle curve:

4 - x2 = x2 – 2x

2x 2 – 2x - 4 = 0

x2 – x-2 = 0

x = 2; y= 0 oppure x = -1;y= 3

Pertanto, la figura di cui occorre trovare l'area può essere rappresentata nella Figura 4.10.

Figura 4.10 - Figura delimitata dalle linee y = 4 - x 2 e y = x 2 – 2x

Sul segmento [-1, 2] 4 - x 2 ≥ x 2 – 2x.

Usiamo la formula
, ponendo f 1 (x) = 4 - - x 2; f2(x) = x2 – 2x;a= -1;b= 2.

Esempio 3. Trova l'area della figura delimitata dalle linee y = 1/x; y= x 2 e y= 4 in un quadrante di coordinate non negative.

Il grafico della funzione y = 1/x è un'iperbole; per x positivo è convesso verso il basso; gli assi delle coordinate sono asintoti. Il grafico della funzione y = x 2 in un quadrante di coordinate non negative è un ramo di una parabola con un punto di minimo nell'origine. Questi grafici si intersecano in 1/x = x 2; x3 = 1; x = 1; y = 1.

Il grafico della funzione y = 1/x interseca la retta y = 4 in x = 1/4, e il grafico della funzione y = x 2 in x = 2 (o -2).

Pertanto, la figura di cui occorre trovare l'area può essere rappresentata nella Figura 4.11.

Figura 4.11 - Figura delimitata dalle linee y = 1/x; y= x 2 e y= 4 nel quadrante delle coordinate non negative

L'area richiesta della figura ABC è pari alla differenza tra l'area del rettangolo ABHE, che è pari a 4*(2 - ¼) = 7, e la somma delle aree di due trapezi curvilinei ACFE e CBHF. Calcoliamo l'area ACFE:

Calcoliamo l'area SVНF:

.

Quindi, l’area richiesta è 7 – (ln4 + 7/3) = 14/3 –ln43,28 (unità 2).

26. Calcolo delle aree delle figure piane utilizzando un integrale definito

Definizione 1.Trapezio curvilineo, generato dal grafico di una funzione non negativa F su un segmento viene chiamata una figura delimitata da un segmento
asse x, segmenti di linea
,
e il grafico della funzione
SU
.

1. Dividiamo il segmento
punti in segmenti parziali.

2. In ogni segmento
(Dove K=1,2,...,N) scegli un punto arbitrario .

3. Calcola le aree dei rettangoli le cui basi sono segmenti
gli assi x e le altezze hanno lunghezze
. Quindi l'area della figura a gradini formata da questi rettangoli è uguale a
.

Si noti che quanto minore è la lunghezza dei segmenti parziali, tanto più la figura a gradini è vicina al trapezio curvilineo dato. Pertanto è naturale dare la seguente definizione.

Definizione 2.Area di un trapezio curvo, generato dal grafico di una funzione non negativa F sul segmento
, è detto limite (poiché le lunghezze di tutti i segmenti parziali tendono a 0) delle aree delle figure a gradini se:

1) questo limite esiste ed è finito;

2) non dipende dal modo in cui è suddiviso il segmento
in sezioni parziali;

3) non dipende dalla scelta dei punti
.

Teorema 1.Se la funzione
continua e non negativa nell'intervallo
, poi il trapezio curvilineoF,funzione generata dal graficoFSU
, ha un'area, che viene calcolata dalla formula
.

Utilizzando un integrale definito, puoi calcolare le aree delle figure piane e di quelle più complesse.

Se F E G- continuo e non negativo sul segmento
funzioni per tutti X dal segmento
vale la disuguaglianza
, quindi l'area della figura F, limitato da linee rette
,
e grafici di funzioni
,
, calcolato dalla formula
.

Commento. Se scartiamo la condizione di non negatività delle funzioni F E G, l'ultima formula rimane vera.

Argomento 9. Equazioni differenziali

27. Il concetto di equazione differenziale. Soluzione generale e particolare. Problema di Cauchy. Il problema della costruzione di un modello matematico del processo demografico

La teoria delle equazioni differenziali nacque alla fine del XVII secolo sotto l'influenza delle esigenze della meccanica e di altre discipline delle scienze naturali, essenzialmente contemporaneamente al calcolo integrale e differenziale.

Definizione 1.N-esimo ordineè un'equazione della forma in cui
- funzione sconosciuta.

Definizione 2. Funzione
si chiama soluzione di un'equazione differenziale sull'intervallo IO, se sostituendo questa funzione e le sue derivate l'equazione differenziale diventa un'identità.

Risolvere l'equazione differenziale- è trovare tutte le sue soluzioni.

Definizione 3. Il grafico della soluzione di un'equazione differenziale si chiama curva integrale equazione differenziale.

Definizione 4.Equazione differenziale ordinaria 1-esimo ordine chiamata equazione della forma
.

Definizione 5. Equazione della forma
chiamato equazione differenziale 1-esimo ordine,risolto rispetto al derivato.

Di norma, qualsiasi equazione differenziale ha infinite soluzioni. Per selezionare una qualsiasi soluzione dalla totalità di tutte le soluzioni, è necessario imporre condizioni aggiuntive.

Definizione 6. Condizione di tipo
sovrapposta alla soluzione di un'equazione differenziale del 1° ordine condizione iniziale, O Condizione cauchy.

Dal punto di vista geometrico ciò significa che per il punto passa la corrispondente curva integrale
.

Definizione 7.Soluzione generale Equazione differenziale del primo ordine
su una zona pianeggiante Dè detta famiglia di funzioni ad un parametro
, soddisfacendo le condizioni:

1) per chiunque
funzione
è una soluzione dell'equazione;

2) per ogni punto
esiste un tale valore di parametro
, che la funzione corrispondente
è una soluzione dell'equazione che soddisfa la condizione iniziale
.

Definizione 8. Viene chiamata la soluzione ottenuta dalla soluzione generale per un certo valore del parametro soluzione privata equazione differenziale.

Definizione 9.Con decisione speciale Un'equazione differenziale è qualsiasi soluzione che non può essere ottenuta dalla soluzione generale per qualsiasi valore del parametro.

Risolvere le equazioni differenziali è un problema molto difficile e, in generale, quanto più alto è l'ordine dell'equazione, tanto più difficile è specificare i modi per risolverla. Anche per le equazioni differenziali del primo ordine è possibile indicare metodi per trovare una soluzione generale solo in un numero ristretto di casi particolari. Inoltre, in questi casi, non sempre la soluzione desiderata è una funzione elementare.

Uno dei problemi principali della teoria delle equazioni differenziali, studiato per primo da O. Cauchy, è trovare una soluzione a un'equazione differenziale che soddisfi determinate condizioni iniziali.

Ad esempio, esiste sempre una soluzione per l'equazione differenziale
, soddisfacendo la condizione iniziale
, e sarà l'unico? In generale, la risposta è no. In effetti, l'equazione
, il cui membro destro è continuo su tutto il piano, ha soluzioni sì=0 e sì=(X+C) 3 ,CR . Pertanto, attraverso qualsiasi punto dell'asse O X passa per due curve integrali.

Quindi la funzione deve soddisfare alcuni requisiti. Il seguente teorema contiene una delle varianti delle condizioni sufficienti per l'esistenza e l'unicità di una soluzione dell'equazione differenziale
, soddisfacendo la condizione iniziale
.

Definizione. La differenza F (b) – F (a) si chiama integrale della funzione f (x) sull'intervallo [ a ; b ] ed è indicato come segue: = F (b) – F (a) – Formula di Newton-Leibniz.

Significato geometrico dell'integrale.

L'area di un trapezio curvilineo delimitata da un grafico positivo continuo sull'intervallo [a; b ] funzioni f (x), l'asse Ox e le rette x=a e x= b:

Calcolo delle aree utilizzando un integrale.

1.L'area di una figura limitata da un grafico negativo continuo sull'intervallo [a; b ] funzioni f (x), l'asse Ox e le rette x=a e x= b:

2. L'area della figura limitata dai grafici delle funzioni continue f (x) e dalle linee x=a, x= b:

3. L'area della figura limitata dai grafici delle funzioni continue f (x) e:

4. L'area della figura limitata dai grafici delle funzioni continue f (x) e dall'asse Ox:

Problemi e test sull'argomento "Integrale. Calcolo delle aree utilizzando l'integrale"

• Integrante

  Lezioni: 4 Compiti: 13 Test: 1

• Calcolo delle aree mediante integrali - Antiderivativa e integrale grado 11

  Lezioni: 1 Compiti: 10 Test: 1

• Antiderivativo - Antiderivativa e integrale grado 11

  Lezioni: 1 Compiti: 11 Test: 1

• Planimetria: calcolo di lunghezze e aree

  Compiti: 7

• Calcoli e conversioni - Preparazione all'Esame di Stato Unificato di Matematica. Esame di Stato Unificato di Matematica

  Compiti: 10

Prima di iniziare a calcolare l'area di una figura delimitata da determinate linee, prova a rappresentare questa figura in un sistema di coordinate. Ciò renderà la risoluzione del problema molto più semplice.

Lo studio di materiali teorici su questo argomento ti dà l'opportunità di padroneggiare i concetti di antiderivativa e integrale, comprendere la connessione tra loro, padroneggiare la tecnica più semplice del calcolo integrale e imparare ad applicare l'integrale al calcolo delle aree delle figure limitate dai grafici delle funzioni .

Esempi.

1. Calcola l'integrale

Soluzione:

Risposta: 0.

2. Trova l'area della figura delimitata dalle linee

UN) F(X) = 2 X – X 2 e l'asse x

Soluzione: Il grafico della funzione f(x) = 2x - x 2 è una parabola. Vertice: (1; 1).

Risposta:(unità quadrate).

Calcolo dell'area di una figura- Questo è forse uno dei problemi più difficili della teoria delle aree. Nella geometria scolastica viene insegnato a trovare le aree delle forme geometriche di base come, ad esempio, un triangolo, un rombo, un rettangolo, un trapezio, un cerchio, ecc. Spesso però bisogna occuparsi del calcolo delle aree di figure più complesse. È quando si risolvono tali problemi che è molto conveniente utilizzare il calcolo integrale.

Definizione.

Trapezio curvilineo chiamiamo una figura G delimitata dalle linee y = f(x), y = 0, x = aex = b, e la funzione f(x) è continua sul segmento [a; b] e non cambia segno su di esso (Fig. 1). L'area di un trapezio curvo può essere indicata con S(G).

Un integrale definito ʃ a b f(x)dx per la funzione f(x), continua e non negativa sull'intervallo [a; b], ed è l'area del corrispondente trapezio curvo.

Cioè per trovare l'area di una figura G delimitata dalle rette y = f(x), y = 0, x = a e x = b, è necessario calcolare l'integrale definito ʃ a b f(x)dx .

Così, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Se la funzione y = f(x) non è positiva su [a; b], quindi l'area di un trapezio curvo può essere trovata utilizzando la formula S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Esempio 1.

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee y = x 3; y = 1; x = 2.

Soluzione.

Le linee indicate formano la figura ABC, che viene rappresentata tratteggiata riso. 2.

L'area richiesta è pari alla differenza tra le aree del trapezio curvo DACE e del quadrato DABE.

Utilizzando la formula S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), troviamo i limiti di integrazione. Per fare ciò, risolviamo un sistema di due equazioni:

(y = x3,
(y = 1.

Quindi abbiamo x 1 = 1 – il limite inferiore e x = 2 – il limite superiore.

Quindi, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (unità quadrate).

Risposta: 11/4 mq. unità

Esempio 2.

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee y = √x; y = 2; x = 9.

Soluzione.

Le linee indicate formano la figura ABC, che è limitata sopra dal grafico della funzione

y = √x, e sotto c'è un grafico della funzione y = 2. La figura risultante è mostrata tratteggiando riso. 3.

L'area richiesta è S = ʃ a b (√x – 2). Troviamo i limiti di integrazione: b = 9, per trovare a risolviamo un sistema di due equazioni:

(y = √x,
(y = 2.

Quindi abbiamo che x = 4 = a è il limite inferiore.

Quindi, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (unità quadrate).

Risposta: S = 2 2/3 mq. unità

Esempio 3.

Calcola l’area della figura delimitata dalle linee y = x 3 – 4x; y = 0; x≥ 0.

Soluzione.

Tracciamo la funzione y = x 3 – 4x per x ≥ 0. Per fare ciò, trova la derivata y':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 in x = ±2/√3 ≈ 1.1 – punti critici.

Se tracciamo i punti critici sulla retta numerica e disponiamo i segni della derivata, troviamo che la funzione diminuisce da zero a 2/√3 e aumenta da 2/√3 a più infinito. Allora x = 2/√3 è il punto di minimo, il valore minimo della funzione y min = -16/(3√3) ≈ -3.

Determiniamo i punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate:

se x = 0, allora y = 0, il che significa che A(0; 0) è il punto di intersezione con l'asse Oy;

se y = 0, allora x 3 – 4x = 0 oppure x(x 2 – 4) = 0, oppure x(x – 2)(x + 2) = 0, da cui x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (non adatto, perché x ≥ 0).

I punti A(0; 0) e B(2; 0) sono i punti di intersezione del grafico con l'asse del Bue.

Le linee indicate formano la figura della Rubrica fuori rete, che viene mostrata tratteggiata riso. 4.

Poiché la funzione y = x 3 – 4x assume un valore negativo su (0; 2), allora

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Abbiamo: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, da cui S = 4 mq. unità

Risposta: S = 4 mq. unità

Esempio 4.

Trova l'area della figura delimitata dalla parabola y = 2x 2 – 2x + 1, le linee x = 0, y = 0 e la tangente a questa parabola nel punto con l'ascissa x 0 = 2.

Soluzione.

Per prima cosa creiamo un'equazione per la tangente alla parabola y = 2x 2 – 2x + 1 nel punto con l'ascissa x₀ = 2.

Poiché la derivata y’ = 4x – 2, allora per x 0 = 2 otteniamo k = y’(2) = 6.

Troviamo l'ordinata del punto tangente: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Pertanto, l’equazione della tangente ha la forma: y – 5 = 6(x ​​​​– 2) oppure y = 6x – 7.

Costruiamo una figura delimitata da linee:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

à у = 2х 2 – 2х + 1 – parabola. Punti di intersezione con gli assi coordinati: A(0; 1) – con l'asse Oy; con l'asse del Bue - non ci sono punti di intersezione, perché l’equazione 2x 2 – 2x + 1 = 0 non ha soluzioni (D< 0). Найдем вершину параболы:

xb = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, cioè il vertice del punto B della parabola ha coordinate B(1/2; 1/2).

Quindi, la figura di cui è necessario determinare l'area viene mostrata tratteggiando riso. 5.

Abbiamo: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Troviamo le coordinate del punto D dalla condizione:

6x – 7 = 0, cioè x = 7/6, che significa DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Troviamo l'area del triangolo DBC utilizzando la formula S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. Così,

S ADBC ​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 mq. unità

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (unità quadrate).

Alla fine otteniamo: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​​​= 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (unità quadrate).

Risposta: S = 1 1/4 mq. unità

Abbiamo visto degli esempi trovare le aree delle figure delimitate da linee date. Per risolvere con successo tali problemi, è necessario essere in grado di disegnare linee e grafici di funzioni su un piano, trovare i punti di intersezione delle linee, applicare una formula per trovare l'area, il che implica la capacità di calcolare determinati integrali.

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