Le serie alternate sono serie i cui termini sono alternativamente positivi e negativi. . Molto spesso vengono considerate serie alternate, in cui i termini si alternano uno dopo l'altro: ogni positivo è seguito da un negativo, ogni negativo è seguito da un positivo. Ma ci sono file alternate in cui i membri si alternano in due, tre e così via.

Considera un esempio di una serie alternata, il cui inizio è simile a questo:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

e immediatamente regole generali record di righe alternate.

Come per qualsiasi serie, per continuare una determinata serie, è necessario specificare una funzione che determini il termine comune della serie. Nel nostro caso lo è N + 2 .

Come impostare l'alternanza dei segni dei membri di una serie? Moltiplicare una funzione per meno uno in una certa misura. In che misura? Sottolineiamo subito che non tutti i gradi garantiscono l'alternanza dei segni per i termini della serie.

Diciamo che vogliamo che il primo termine della serie alternata abbia un segno positivo, come nel caso dell'esempio sopra. Quindi meno uno deve essere al potere N− 1. Inizia a sostituire i numeri a partire da uno in questa espressione e otterrai come esponente a meno uno, pari o meno numero pari. Questo è quello che è condizione necessaria segni alternati! Otteniamo lo stesso risultato quando N+1. Se vogliamo che il primo termine della serie alternata abbia segno negativo, allora possiamo definire questa serie moltiplicando per uno alla potenza la funzione del termine comune N. Otteniamo pari o numero dispari e così via. Come possiamo vedere, la condizione già descritta per i segni alternati è soddisfatta.

Pertanto, possiamo scrivere le serie alternate di cui sopra in forma generale:

Per alternare i segni di un membro della serie, la potenza meno uno può essere la somma N e qualsiasi numero positivo o negativo, pari o dispari. Lo stesso vale per 3 N , 5N, ... Cioè, alternando i segni dei membri della serie alternata si ottiene il grado meno uno sotto forma di somma N, moltiplicato per qualsiasi numero dispari e qualsiasi numero.

Quali potenze a meno uno non assicurano l'alternanza dei segni dei termini della serie? Quelli che sono presenti nella forma N, moltiplicato per qualsiasi numero pari, a cui è stato aggiunto qualsiasi numero, compreso lo zero, pari o dispari. Esempi di indicatori di tali gradi: 2 N , 2N + 1 , 2N − 1 , 2N + 3 , 4N+ 3 ... Nel caso di tali poteri, a seconda del numero a cui viene aggiunto "en", moltiplicato per un numero pari, si ottengono solo numeri pari o solo numeri dispari, il che, come abbiamo già scoperto, non dare l'alternanza dei segni dei termini della serie.

Righe alternate - caso speciale serie alternate . Le serie alternate sono serie con termini di segni arbitrari , cioè quelli che possono essere positivi e negativi in ​​qualsiasi ordine. Un esempio di serie alternata:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

Successivamente, consideriamo i segni di convergenza delle serie alternate e alternate. La convergenza condizionale di serie alternate di segni può essere stabilita utilizzando il test di Leibniz. E per una gamma più ampia di serie - serie alternate (comprese le serie alternate) - si applica il criterio della convergenza assoluta.

Convergenza di serie alternate di segni. Il test di Leibniz

Per le serie alternate, abbiamo segno successivo convergenza - test di Leibniz.

Teorema (test di Leibniz). La serie converge, e la sua somma non supera il primo termine, se sono soddisfatte contemporaneamente le seguenti due condizioni:

• diminuiscono i valori assoluti dei termini della serie alternata: tu1 > tu 2 > tu 3 > ... > tu n>...;
• limite del suo termine comune con aumento illimitato N uguale a zero.

Conseguenza. Se prendiamo la somma delle serie alternate come somma delle sue N termini, l'errore consentito non supererà il valore assoluto del primo termine scartato.

Esempio 1. Studiare la convergenza della serie

Soluzione. Questa è una serie alternata. I valori assoluti dei suoi membri diminuiscono:

e il limite del termine comune

uguale a zero:

Entrambe le condizioni del test di Leibniz sono soddisfatte, quindi la serie converge.

Esempio 2. Studiare la convergenza della serie

Soluzione. Questa è una serie alternata. Per prima cosa dimostriamo che:

, .

Se N= 1, quindi per tutti N > N vale la disuguaglianza 12 N − 7 > N. A sua volta, per tutti N. Pertanto, i termini della serie diminuiscono in valore assoluto. Troviamo il limite del termine generale della serie (usando La regola dell'Hopital):

Il limite del termine comune è zero. Entrambe le condizioni del test di Leibniz sono soddisfatte, quindi la risposta alla questione della convergenza è positiva.

Esempio 3. Studiare la convergenza della serie

Soluzione. Data una serie alternata. Vediamo se è soddisfatta la prima condizione del criterio di Leibniz, cioè il requisito. Perché il requisito sia soddisfatto è necessario che

Ci siamo assicurati che il requisito fosse soddisfatto per tutti N > 0 . Il primo criterio di Leibniz è soddisfatto. Troviamo il limite del termine generale della serie:

.

Il limite non è zero. Pertanto, la seconda condizione del criterio di Leibniz non è soddisfatta, quindi la convergenza è fuori questione.

Esempio 4. Studiare la convergenza della serie

Soluzione. In questa serie, due termini negativi sono seguiti da due positivi. Anche questa serie è alternata. Scopriamo se la prima condizione del test di Leibniz è soddisfatta.

Il requisito è soddisfatto per tutti N > 1 . Il primo criterio di Leibniz è soddisfatto. Scopriamo se il limite del termine generale è pari a zero (applicando la regola di L'Hopital):

.

Abbiamo zero. Pertanto entrambe le condizioni del test di Leibniz sono soddisfatte. La convergenza è in atto.

Esempio 5. Studiare la convergenza della serie

Soluzione. Questa è una serie alternata. Scopriamo se la prima condizione del test di Leibniz è soddisfatta. Perché

,

Perché N ≥ 0 , quindi 3 N+ 2 > 0 . A sua volta, per tutti N, Ecco perché . Di conseguenza, i termini della serie diminuiscono in valore assoluto. Il primo criterio di Leibniz è soddisfatto. Scopriamo se il limite del termine generale della serie è pari a zero (applicando la regola di L'Hopital):

.

Abbiamo ottenuto un valore pari a zero. Entrambe le condizioni del test di Leibniz sono soddisfatte, quindi la serie converge.

Esempio 6. Studiare la convergenza della serie

Soluzione. Cerchiamo di verificare se la prima condizione del test di Leibniz è soddisfatta per questa serie alternata:

I termini della serie diminuiscono in valore assoluto. Il primo criterio di Leibniz è soddisfatto. Scopriamo se il limite del termine comune è uguale a zero:

.

Il limite del termine comune non è zero. La seconda condizione del criterio di Leibniz non è soddisfatta. Pertanto, questa serie diverge.

Il test di Leibniz è un segno convergenza condizionata della serie. Ciò significa che le conclusioni sulla convergenza e divergenza delle serie alternate considerate sopra possono essere integrate: queste serie convergono (o divergono) condizionatamente.

Convergenza assoluta di serie alterne

Lasciamo la fila

– segno alternato. Consideriamo una serie composta dai valori assoluti dei suoi membri:

Definizione. Una serie si dice assolutamente convergente se converge una serie composta dai valori assoluti dei suoi membri. Se una serie alternata converge e una serie composta dai valori assoluti dei suoi membri diverge, tale serie alternata viene chiamata condizionatamente o non assolutamente convergente .

Teorema. Se una serie converge assolutamente, allora converge condizionatamente.

Esempio 7. Determina se una serie converge

Soluzione. A questa serie corrisponde accanto ai termini positivi la serie Questo serie armoniche generalizzate, in cui , quindi la serie diverge. Verifichiamo se le condizioni del test di Leibniz sono soddisfatte.

Scriviamo i valori assoluti dei primi cinque termini della serie:

.

Come possiamo vedere, i termini della serie diminuiscono in valore assoluto. Il primo criterio di Leibniz è soddisfatto. Scopriamo se il limite del termine comune è uguale a zero:

Abbiamo ottenuto un valore pari a zero. Entrambe le condizioni del test di Leibniz sono soddisfatte. Cioè, secondo il criterio di Leibniz, avviene la convergenza. E la serie corrispondente con termini positivi diverge. Pertanto, questa serie converge condizionatamente.

Esempio 8. Determina se una serie converge

assolutamente, condizionatamente o diverge.

Soluzione. A questa serie corrisponde accanto ai termini positivi la serie. Si tratta di una serie armonica generalizzata, nella quale, quindi, la serie diverge. Controlliamo se le condizioni del test di Leibniz sono soddisfatte.

Teorema. Sia una funzione continua, non negativa, monotonicamente decrescente definita in . Allora la serie e l’integrale convergono entrambi oppure divergono entrambi.

Prova. A causa della monotonicità, le disuguaglianze valgono per tutti. Integrando, otteniamo . Poi , O . Pertanto, se converge, allora . Poi e , la serie converge.

Sappiamo ora, invece, che la serie converge. Poi . Prendendone uno arbitrario, scegliamo in modo che . Poi . Quindi si adatta.

Convergenza assoluta. Proprietà delle serie assolutamente convergenti

Definizione. Assolutamente Una serie convergente è una serie convergente per la quale anche la serie converge.

È facile dimostrare che la convergenza della serie implica la convergenza della serie. Utilizzando il criterio di Cauchy applicato a , otteniamo: . Dalla disuguaglianza risultante segue che il criterio di Cauchy è soddisfatto anche per la serie originaria, quindi converge.

Indichiamo, cioè , . Le uguaglianze sono ovvie: . Consideriamo la serie e . Se convergono, allora la serie converge , cioè. La serie è assolutamente convergente. Se la serie convergono, allora, perché , la serie e convergono anche. Pertanto, per la convergenza assoluta, la convergenza della serie ed è necessaria e sufficiente.

(Segno di Leibniz).

Se i termini della serie alternata (9.4.1), presi modulo, formano non in aumento una sequenza infinitesima, cioè e poi questa riga converge.

Diamo esempi segno di righe alternate.

Studiare la convergenza della serie .

Questa riga converge secondo il criterio di Leibniz, poiché i suoi termini diminuiscono in valore assoluto e at.

Studiare la convergenza della serie.

È facile verificare che questa serie soddisfa le condizioni Teoremi 1 ed ecco perché converge.

Commento. Nel teorema di Leibniz non è essenziale solo la condizione, ma anche la condizione. Quindi, ad esempio, per la serie la seconda condizione è violata e, tuttavia, la serie diverge. Questo può essere visto se questa serie è rappresentata nel modulo , cioè. doppia serie armonica.

Sotto segno alternato poi capiremo una serie in cui tutti i suoi membri possono essere simili positivo, COSÌ negativo.

Consideriamo il caso di una serie con termini aventi segni arbitrari:

. (9.4.2)

Consideriamo contemporaneamente la serie

, (9.4.3)

dove sono i termini della serie (9.4.2).

(un segno sufficiente di convergenza di una serie alternata). Da convergenza segue la serie (9.4.3). convergenza serie (9.4.2).

Test di D'Alembert per la convergenza di una serie positiva

Sia data una serie positiva ed esiste
. Quindi seq< 1, то ряд сходится; если q >1, allora la serie diverge.

Dimostrazione: 1) sia q< 1, докажем, что ряд сходится. Поскольку существует предел
, possiamo scrivere
O
un n (q - )< a n +1 < a n (q + ). Выберем  таким образом, чтобы q +  < 1. Из полученного двойного неравенства и неравенства q +  < 1 следует, что

un N+2< (q + ) a N +1 ;

un N+3< (q + ) a N +2 < (q + ) 2 a N +1 ;

un N+4< (q + ) a N +3 < (q + ) 3 a N +2 < (q + ) 3 a N +1 .

Quindi, i termini della serie a N +2 + a N +3 + a N +4 +... sono minori dei corrispondenti termini della progressione geometrica infinita a N +1 (q + ) + a N +2 (q + ) 2 + a N + 3 (q + ) 3 +… Il denominatore della progressione è inferiore a uno, quindi la progressione è una serie convergente (vedi n. 1). In confronto, la serie è anch'esso convergente.

2) Sia ora q > 1. Prendiamo un numero  tale che anche q -  sia maggiore di uno. Allora per n sufficientemente grande, sulla base della dimostrazione della doppia disuguaglianza derivata nel paragrafo 1), avremo

Quindi un N< a N +1 < a N +2 . Следовательно члены ряда aumentano all’aumentare del loro numero, il criterio necessario per la convergenza non è soddisfatto. Quindi un numero diverge. Il teorema è completamente dimostrato.

Se q = 1, allora è impossibile determinare la natura della convergenza della serie. Ad esempio, una serie converge e la serie diverge.

Righe alternate. Test di convergenza di Leibniz. Il concetto di serie assolutamente e condizionatamente convergente

Righe alternate. Test di convergenza di Leibniz. Serie alternate– una serie in cui eventuali membri adiacenti hanno segni opposti.

Test di convergenza di Leibniz: se i valori assoluti dei termini di una serie alternata diminuiscono monotonicamente all'aumentare del loro numero e l'n-esimo termine della serie con aumento illimitato di n tende a zero, cioè

,

allora questa serie converge.

Dimostrazione: somma S 2 m dei primi termini della serie e scrivilo nel seguente modo:

S 2m = (a 1 – a 2) + (a 3 + a 4) +…+ (a 2m-1 + a 2m).

Poiché le differenze tra parentesi, basate sulla condizione di monotonicità di diminuzione dei valori assoluti dei termini della serie, sono positive, allora

Se 2m aumenta, allora S 2 m non diminuisce, perché ogni volta che vengono aggiunti termini positivi o zero.

D'altra parte, lo stesso importo può essere rappresentato come:

S 2m = a 1 – (a 2 – a 3) – (a 4 – a 5) -…- (a 2m-2 – a 2m-1) – a 2m.

Ci sono numeri positivi tra parentesi, quindi

S2m un 1.

Di conseguenza, S 2 m, essendo una successione monotonicamente crescente (più precisamente, non decrescente) e limitata, ha un limite finito S per m  :

.

Ma è ovvio

S 2 m +1 = S 2 m + a 2 m +1.

Basandoci sulla condizione che l'ennesimo termine tenda a zero, abbiamo anche

.

Quindi, otteniamo

Abbiamo scoperto che all'aumentare di n indefinitamente, le somme parziali S n tendono allo stesso limite S, indipendentemente dal fatto che n sia pari o dispari. Quindi un numero converge.

Il concetto di serie assolutamente e condizionatamente convergente. Viene chiamata una serie composta da membri di segni diversi segno alternato. Viene chiamata una serie alternata assolutamente convergente, se convergono sia la serie stessa che la serie composta dai valori assoluti dei suoi membri. La serie si chiama condizionatamente convergente, se la serie stessa converge, ma la serie composta dai valori assoluti dei suoi membri diverge.

Teorema: se per una serie alternata converge una serie composta dai valori assoluti dei suoi membri , allora anche questa serie converge.

Dimostrazione: consideriamo le serie ausiliarie

Da 1) 0
e 2) riga
a causa della data condizione di convergenza della serie converge anche, allora, in base al criterio di confronto, converge anche la serie ausiliaria considerata. Quindi la nostra fila rappresenta la differenza di due serie convergenti

=

e, quindi, converge, ecc. L'affermazione contraria non è vera.

Serie di potenze.

Definizione. Serie di potenze chiamata una serie del modulo

.

Per studiare la convergenza delle serie di potenze è conveniente utilizzare il test di D'Alembert.

Esempio. Esaminare la convergenza della serie

Applichiamo il segno di d'Alembert:

.

Troviamo che questa serie converge a
e diverge a
.

Ora determiniamo la convergenza nei punti di confine 1 e –1.

Per x = 1:
la serie converge secondo il test di Leibniz (vedi test di Leibniz.).

A x = -1:
la serie diverge (serie armonica).

I teoremi di Abele.

(Nils Henrik Abel (1802 – 1829) – matematico norvegese)

Teorema. Se la serie di potenze
converge aX = X 1 , quindi converge e, inoltre, assolutamente per tutti
.

Prova. Secondo le condizioni del teorema, poiché i termini della serie sono limitati, allora

Dove K- un numero costante. Vale la seguente disuguaglianza:

Da questa disuguaglianza è chiaro che quando X< X 1 i valori numerici dei termini della nostra serie saranno inferiori (almeno non superiori) ai corrispondenti termini della serie a destra della disuguaglianza scritta sopra, che formano una progressione geometrica. Il denominatore di questa progressione secondo le condizioni del teorema è minore di uno, quindi questa progressione è una serie convergente.

Pertanto, in base al criterio di confronto, concludiamo che la serie
converge, il che significa che la serie
converge assolutamente.

Quindi, se la serie di potenze
converge in un punto X 1 , allora converge assolutamente in ogni punto dell'intervallo di lunghezza 2 centrato in un punto X = 0.

Conseguenza. Se a x = x 1 la serie diverge, quindi diverge per tutti
.

Quindi per ogni serie di potenze esiste un numero positivo R tale che per tutte X tale che
la serie è assolutamente convergente, e per tutti
la riga diverge. In questo caso, viene chiamato il numero R raggio di convergenza. Viene chiamato l'intervallo (-R, R). intervallo di convergenza.

Si noti che questo intervallo può essere chiuso su uno o entrambi i lati oppure non chiuso.

Il raggio di convergenza può essere trovato utilizzando la formula:

Esempio. Trova l'area di convergenza della serie

Trovare il raggio di convergenza
.

Pertanto, questa serie converge per qualsiasi valore X. Il termine comune di questa serie tende a zero.

Teorema. Se la serie di potenze
converge ad un valore positivo x=x 1 , allora converge uniformemente in qualsiasi intervallo interno
.

Azioni con serie di potenze.

Viene chiamata una serie di numeri i cui membri hanno segni arbitrari (+), (?). serie alternate. Le serie alternate discusse sopra sono un caso speciale di serie alternate; È chiaro che non tutte le serie alternate sono alternate. Ad esempio, una riga? alternanti, ma non una serie alternata.

Si noti che in una serie alternata ci sono infiniti termini sia con il segno (+) che con il segno (?). Se questo non è vero, ad esempio, la serie contiene un numero finito di termini negativi, allora questi possono essere scartati e si può considerare una serie composta solo da termini positivi, e viceversa.

Definizione 1. Se una serie di numeri converge e la sua somma è uguale a S, e la somma parziale è uguale a S n, allora si chiama resto della serie e, cioè il resto della serie convergente tende a 0.

Consideriamo una serie alternata convergente come un caso speciale di serie alternata

Dove. Scriviamolo nella forma, quindi secondo il criterio di Leibniz; poiché, allora, cioè il resto della serie convergente tende a 0.

Per le serie alternate vengono introdotti i concetti di convergenza assoluta e condizionale.

Definizione 2. Una serie si dice assolutamente convergente se converge una serie composta dai valori assoluti dei suoi membri.

Definizione 3. Se una serie di numeri converge e una serie composta dai valori assoluti dei suoi membri diverge, la serie originale viene chiamata convergente condizionatamente (non assoluta).

Teorema 2 (criterio sufficiente per la convergenza di serie alternate). Una serie alternata converge, e in modo assoluto, se converge una serie composta dai valori assoluti dei suoi termini.

Prova. Indichiamo con la somma parziale della serie: , e con? somma parziale della serie: . Indichiamo con la somma di tutti i termini positivi e con la somma dei valori assoluti di tutti i termini negativi inclusi. E' ovvio.

Secondo le condizioni del teorema, la serie converge, quindi esiste, e così anche la sequenza? monotonicamente crescente e non negativo, quindi. Ovviamente allora le successioni e sono monotonicamente crescenti e limitate, ed i loro limiti sono uguali a e. Poi. Ciò significa che la serie alternata originale converge e converge assolutamente. Il teorema è stato dimostrato.

Commento. Il Teorema 2 fornisce solo una condizione sufficiente per la convergenza delle serie alternate. Il teorema contrario non è vero, cioè se una serie alternata converge, allora non è necessario che converga la serie composta da moduli (può essere sia convergente che divergente). Ad esempio, una serie converge secondo il criterio di Leibniz (vedi esempio 1 di questa lezione), ma una serie composta dai valori assoluti dei suoi membri (serie armonica) diverge.

Esempio 2. Esaminare la serie per la convergenza condizionale e assoluta.

Soluzione. Questa serie è alternata, il cui termine generale sarà indicato con: . Compiliamo una serie di valori assoluti e applichiamo ad essi il test di D'Alembert. Creiamo un limite dove, . Dopo aver effettuato le trasformazioni otteniamo: Pertanto, la serie converge, il che significa che la serie alternata originale converge assolutamente. Risposta: la serie è assolutamente convergente.

Esempio 3. Esaminare la serie per la convergenza assoluta e condizionale.

Soluzione. A) Esaminiamo la serie per convergenza assoluta. Designiamo e compiliamo una serie di valori assoluti. Otteniamo una serie a termini positivi, alla quale applichiamo il test limite per il confronto delle serie (Teorema 2, Lezione 2, Paragrafo 2.2). Per confrontare con una serie, considera una serie che abbia la forma. Questa serie è una serie di Dirichlet con un esponente, cioè lui diverge. Componiamo e calcoliamo il seguente limite. Poiché il limite esiste, non è uguale a 0 e non è uguale a ?, entrambe le serie si comportano allo stesso modo. Pertanto la serie diverge, il che significa che la serie originale non è assolutamente convergente.

B) Successivamente, esaminiamo la serie originale per la convergenza condizionale. Per fare ciò, controlliamo l'adempimento delle condizioni del test di Leibniz (Teorema 1, Sezione 3.1). Condizione 1): , dove, cioè questa serie è alternata. Per verificare la condizione 2) relativa alla diminuzione monotona dei termini della serie, utilizziamo metodo successivo. Consideriamo la funzione ausiliaria definita a (la funzione è tale che abbiamo at). Per esaminare questa funzione per la monotonicità, troviamo la sua derivata: . Questo derivato a. Di conseguenza, la funzione diminuisce monotonicamente per i valori specificati di x. Supponendo che arriviamo dove. Ciò significa che la condizione 2) è soddisfatta. Per verificare la condizione 3) troviamo il limite del termine comune: , cioè la terza condizione è soddisfatta. Pertanto, per la serie originale tutte le condizioni del test di Leibniz sono soddisfatte, cioè converge.

Risposta: la serie converge condizionatamente.

Proprietà delle serie assolutamente e condizionatamente convergenti

Proprietà 1. Se una serie è assolutamente convergente, allora converge assolutamente per qualsiasi permutazione dei suoi termini, e la somma delle serie non dipende dall'ordine dei termini. Se? la somma di tutti i suoi termini positivi, eh? la somma di tutti i valori assoluti dei termini negativi, quindi la somma della serie è uguale.

Proprietà 2. Se la serie è assolutamente convergente e, allora anche la serie è assolutamente convergente.

Proprietà 3. Se le serie sono assolutamente convergenti, allora anche le serie sono assolutamente convergenti.

Proprietà 4 (teorema di Riemann). Se la serie è condizionatamente convergente, allora qualunque sia il numero A preso, possiamo riorganizzare i termini di questa serie in modo che la sua somma risulti esattamente uguale ad A; Inoltre, è possibile riorganizzare i termini di una serie condizionatamente convergente in modo che dopo diverga.

Definizione 1

La serie di numeri $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, i cui termini hanno segni arbitrari (+), (?), è chiamata serie alternata.

Le serie alternate discusse sopra sono un caso speciale di serie alternate; È chiaro che non tutte le serie alternate sono alternate. Ad esempio, la serie $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ alternato, ma non una serie alternata.

Si noti che in una serie alternata ci sono infiniti termini sia con il segno (+) che con il segno (-). Se questo non è vero, ad esempio, la serie contiene un numero finito di termini negativi, allora questi possono essere scartati e si può considerare una serie composta solo da termini positivi, e viceversa.

Definizione 2

Se la serie di numeri $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge e la sua somma è S, un parziale la somma è uguale a $S_n$ , quindi $r_(n) =S-S_(n) $ è chiamato il resto della serie e $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, cioè il resto della serie convergente tende a 0.

Definizione 3

La serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ si dice assolutamente convergente se la serie composta dai valori assoluti dei suoi termini $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.

Definizione 4

Se la serie di numeri $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge e la serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n )\destra| $, composta dai valori assoluti dei suoi membri, diverge, quindi la serie originaria si dice condizionatamente (non assolutamente) convergente.

Teorema 1 (un criterio sufficiente per la convergenza delle serie alternate)

Una serie alternata $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge, e in assoluto, se converge la serie composta dai valori assoluti dei suoi termini $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.

Commento

Il Teorema 1 fornisce solo una condizione sufficiente per la convergenza di serie alternate. Il teorema contrario non è vero, cioè se la serie alternata $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge, allora non è necessario che la serie composta dai moduli $\sum \limits _(n=1) ^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (può essere convergente o divergente). Ad esempio, la serie $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ converge secondo il criterio di Leibniz, e la serie composta dai valori assoluti dei suoi termini $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (serie armonica) diverge.

Proprietà 1

Se la serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ è assolutamente convergente, allora converge assolutamente per qualsiasi permutazione dei suoi termini, e la somma della serie non dipende dalla ordine dei termini. Se $S"$ è la somma di tutti i suoi termini positivi e $S""$ è la somma di tutti i valori assoluti dei termini negativi, allora la somma della serie $\sum \limits _(n=1) ^(\infty )u_(n) $ è uguale a $S=S"-S""$.

Proprietà 2

Se la serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ è assolutamente convergente e $C=(\rm const)$, allora la serie $\sum \limits _(n= Anche 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ è assolutamente convergente.

Proprietà 3

Se le serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ e $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ sono assolutamente convergenti, allora anche le serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ sono assolutamente convergenti.

Proprietà 4 (teorema di Riemann)

Se la serie è condizionatamente convergente, allora qualunque sia il numero A preso, possiamo riorganizzare i termini di questa serie in modo che la sua somma risulti esattamente uguale ad A; Inoltre, è possibile riorganizzare i termini di una serie condizionatamente convergente in modo che dopo diverga.

Esempio 1

Esaminare la serie per la convergenza condizionale e assoluta

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Soluzione. Questa serie è alternata, il cui termine generale sarà indicato con: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Esempio 2

Esaminare la serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ per la convergenza assoluta e condizionale.

1. Esaminiamo la serie per convergenza assoluta. Denotiamo $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ e componiamo una serie di valori assoluti $a_(n) =\ left|u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Otteniamo la serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ con termini positivi, a cui applichiamo il test limite per il confronto delle serie. Per confronto con la serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n ) )(n+1) $ consideriamo una serie che ha la forma $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Questa serie è una serie di Dirichlet con esponente $p=\frac(1)(2)
2. Successivamente, esaminiamo la serie originale $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ per il condizionale convergenza. Per fare ciò, controlliamo il rispetto delle condizioni del test di Leibniz. Condizione 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, dove $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , cioè. questa serie è alternata. Per verificare la condizione 2) relativa alla diminuzione monotona dei termini della serie, utilizziamo il seguente metodo. Considera la funzione ausiliaria $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ definita in $x\in )