Formula dell'energia cinetica di un pendolo a filo. Pendolo a molla

Un sistema meccanico costituito da un punto materiale (corpo) sospeso su un filo inestensibile senza peso (la sua massa è trascurabile rispetto al peso del corpo) in un campo gravitazionale uniforme è chiamato pendolo matematico (un altro nome è oscillatore). Esistono altri tipi di questo dispositivo. Invece di un filo, è possibile utilizzare un'asta senza peso. Pendolo matematico può rivelare chiaramente l'essenza di molti fenomeni interessanti. Quando l'ampiezza della vibrazione è piccola il suo movimento è detto armonico.

Panoramica del sistema meccanico

La formula per il periodo di oscillazione di questo pendolo fu derivata dallo scienziato olandese Huygens (1629-1695). Questo contemporaneo di I. Newton era molto interessato a questo sistema meccanico. Nel 1656 creò il primo orologio con meccanismo a pendolo. Misuravano il tempo con una precisione eccezionale per quei tempi. Questa invenzione è diventata la fase più importante nello sviluppo di esperimenti fisici e attività pratiche.

Se il pendolo è nella posizione di equilibrio (penso verticalmente), sarà bilanciato dalla forza di tensione del filo. Un pendolo piatto su filo inestensibile è un sistema a due gradi di libertà con accoppiamento. Quando si cambia un solo componente, cambiano le caratteristiche di tutte le sue parti. Quindi, se la filettatura viene sostituita da un'asta, questo sistema meccanico avrà solo 1 grado di libertà. Quali proprietà ha un pendolo matematico? In questo sistema più semplice, il caos nasce sotto l'influenza di disturbi periodici. Nel caso in cui il punto di sospensione non si muove, ma oscilla, il pendolo ha una nuova posizione di equilibrio. Con rapide oscillazioni su e giù, questo sistema meccanico acquisisce una posizione stabile “capovolta”. Ha anche il suo nome. Si chiama pendolo di Kapitsa.

Proprietà di un pendolo

Il pendolo matematico ha una funzione molto proprietà interessanti. Tutti loro sono confermati dalle leggi fisiche conosciute. Il periodo di oscillazione di qualsiasi altro pendolo dipende da diverse circostanze, come la dimensione e la forma del corpo, la distanza tra il punto di sospensione e il baricentro e la distribuzione della massa rispetto a questo punto. Questo è il motivo per cui è abbastanza semplice determinare il periodo di un corpo sospeso compito difficile. È molto più semplice calcolare il periodo di un pendolo matematico, la cui formula verrà fornita di seguito. Come risultato delle osservazioni di sistemi meccanici simili, è possibile stabilire i seguenti modelli:

Se, mantenendo la stessa lunghezza del pendolo, sospendiamo pesi diversi, il periodo delle loro oscillazioni sarà lo stesso, anche se le loro masse varieranno molto. Di conseguenza, il periodo di tale pendolo non dipende dalla massa del carico.

Se, all'avvio del sistema, il pendolo viene deviato non troppo grande, ma angoli diversi, allora inizierà ad oscillare con lo stesso periodo, ma con ampiezze diverse. Finché le deviazioni dal centro di equilibrio non sono troppo grandi, le vibrazioni nella loro forma saranno abbastanza vicine a quelle armoniche. Il periodo di un tale pendolo non dipende in alcun modo dall'ampiezza oscillatoria. Questa proprietà di un dato sistema meccanico è chiamata isocronismo (tradotto dal greco "chronos" - tempo, "isos" - uguale).

Periodo di un pendolo matematico

Questo indicatore rappresenta il periodo delle oscillazioni naturali. Nonostante la formulazione complessa, il processo in sé è molto semplice. Se la lunghezza del filo di un pendolo matematico è L, e l'accelerazione caduta libera g, allora questo valore è uguale a:

Il periodo dei piccoli non dipende in alcun modo dalla massa del pendolo e dall'ampiezza delle oscillazioni. In questo caso, il pendolo si muove come un pendolo matematico con una determinata lunghezza.

Oscillazioni di un pendolo matematico

Un pendolo matematico oscilla, che può essere descritto da una semplice equazione differenziale:

x + ω2 peccato x = 0,

dove x (t) è una funzione sconosciuta (questo è l'angolo di deviazione dalla posizione di equilibrio inferiore al momento t, espresso in radianti); ω è una costante positiva, che è determinata dai parametri del pendolo (ω = √g/L, dove g è l'accelerazione della caduta libera e L è la lunghezza del pendolo matematico (sospensione).

L'equazione per piccole vibrazioni vicino alla posizione di equilibrio (equazione armonica) si presenta così:

x + ω2 peccato x = 0

Movimenti oscillatori di un pendolo

Un pendolo matematico, che fa piccole oscillazioni, si muove lungo una sinusoide. L'equazione differenziale del secondo ordine soddisfa tutti i requisiti e i parametri di tale movimento. Per determinare la traiettoria è necessario impostare la velocità e le coordinate, dalle quali si determinano poi delle costanti indipendenti:

x = A peccato (θ 0 + ωt),

dove θ 0 è la fase iniziale, A è l'ampiezza dell'oscillazione, ω è la frequenza ciclica determinata dall'equazione del moto.

Pendolo matematico (formule per grandi ampiezze)

Questo sistema meccanico, che oscilla con un'ampiezza significativa, è soggetto a leggi di movimento più complesse. Per un tale pendolo vengono calcolati secondo la formula:

peccato x/2 = u * sn(ωt/u),

dove sn è il seno di Jacobi, che per u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

dove ε = E/mL2 (mL2 è l'energia del pendolo).

Il periodo di oscillazione di un pendolo non lineare si determina utilizzando la formula:

dove Ω = π/2 * ω/2K(u), K è l'integrale ellittico, π - 3,14.

Movimento di un pendolo lungo una separatrice

Una separatrice è la traiettoria di un sistema dinamico che ha uno spazio delle fasi bidimensionale. Un pendolo matematico si muove lungo di esso in modo non periodico. In un momento infinitamente distante nel tempo, cade dalla sua posizione più alta verso un lato a velocità zero, per poi gradualmente riprenderla. Alla fine si ferma, tornando alla sua posizione originale.

Se l'ampiezza delle oscillazioni del pendolo si avvicina al numero π , ciò indica che il movimento sul piano delle fasi si sta avvicinando alla separatrice. In questo caso, sotto l'influenza di una piccola forza motrice periodica, il sistema meccanico mostra un comportamento caotico.

Quando un pendolo matematico si discosta dalla posizione di equilibrio di un certo angolo φ, si genera una forza di gravità tangenziale Fτ = -mg sin φ. Il segno meno significa che questa componente tangenziale è diretta nella direzione opposta alla deflessione del pendolo. Quando indichiamo con x lo spostamento del pendolo lungo un arco circolare di raggio L, il suo spostamento angolare è pari a φ = x/L. La seconda legge, destinata alle proiezioni e alla forza, darà il valore desiderato:

mgτ = Fτ = -mg sin x/L

In base a questa relazione è chiaro che questo pendolo è un sistema non lineare, poiché la forza che tende a riportarlo nella posizione di equilibrio è sempre proporzionale non allo spostamento x, ma al sin x/L.

Solo quando un pendolo matematico esegue piccole oscillazioni è un oscillatore armonico. In altre parole, diventa un sistema meccanico capace di funzionare vibrazioni armoniche. Questa approssimazione è praticamente valida per angoli di 15-20°. Le oscillazioni di un pendolo con grandi ampiezze non sono armoniche.

Legge di Newton per piccole oscillazioni di un pendolo

Se un dato sistema meccanico esegue piccole oscillazioni, la 2a legge di Newton sarà simile a questa:

mgτ = Fτ = -m* g/L* x.

Sulla base di ciò, possiamo concludere che un pendolo matematico è proporzionale al suo spostamento con un segno meno. Questa è la condizione per cui il sistema diventa un oscillatore armonico. Il modulo del coefficiente di proporzionalità tra spostamento e accelerazione è pari al quadrato della frequenza circolare:

ω02 = g/l; ω0 = √ g/L.

Questa formula riflette la frequenza naturale delle piccole oscillazioni di questo tipo di pendolo. Basato su questo,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Calcoli basati sulla legge di conservazione dell'energia

Le proprietà di un pendolo possono anche essere descritte utilizzando la legge di conservazione dell'energia. Va tenuto presente che il pendolo nel campo gravitazionale è uguale a:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Il totale è uguale al potenziale cinetico o massimo: Epmax = Ekmsx = E

Dopo aver scritto la legge di conservazione dell'energia, prendi la derivata dei lati destro e sinistro dell'equazione:

Poiché la derivata delle quantità costanti è uguale a 0, allora (Ep + Ek)" = 0. La derivata della somma è uguale alla somma delle derivate:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

quindi:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + mα) = 0.

In base all'ultima formula troviamo: α = - g/L*x.

Applicazione pratica di un pendolo matematico

L'accelerazione varia con la latitudine perché la densità della crosta terrestre non è la stessa in tutto il pianeta. Dove si trovano rocce con densità maggiore, sarà leggermente più alta. L'accelerazione di un pendolo matematico viene spesso utilizzata per l'esplorazione geologica. Viene utilizzato per cercare vari minerali. Semplicemente contando il numero di oscillazioni di un pendolo, è possibile individuare il carbone o il minerale nelle viscere della Terra. Ciò è dovuto al fatto che tali fossili hanno una densità e una massa maggiori delle rocce sciolte sottostanti.

Il pendolo matematico è stato utilizzato da scienziati eccezionali come Socrate, Aristotele, Platone, Plutarco, Archimede. Molti di loro credevano che questo sistema meccanico potesse influenzare il destino e la vita di una persona. Archimede utilizzava un pendolo matematico nei suoi calcoli. Al giorno d'oggi, molti occultisti e sensitivi usano questo sistema meccanico per realizzare le loro profezie o cercare persone scomparse.

Anche il famoso astronomo e naturalista francese K. Flammarion utilizzò un pendolo matematico per le sue ricerche. Affermò che con il suo aiuto era stato in grado di prevedere la scoperta nuovo pianeta, l'apparizione del meteorite Tunguska e altri eventi importanti. Durante la seconda guerra mondiale, in Germania (Berlino) operava un istituto specializzato nel pendolo. Oggigiorno l’Istituto di parapsicologia di Monaco è impegnato in ricerche simili. I dipendenti di questo stabilimento chiamano il loro lavoro con il pendolo “radiestesia”.

Ripetizione

Energia meccanica totale corpo

\(W=W_(k) +W_(p1) +W_(p2), \; \; \; W_(k) =\frac(m\cdot \upsilon ^(2) )(2), \; \ ; \; W_(p1) =m\cdot g\cdot h, \; \; \; W_(p2) =\frac(k\cdot \Delta l^(2) )(2),\)

Dove sett - energia cinetica corpi dentro questo momento tempo (energia del movimento), M- massa corporea, υ - valore della velocità corporea in un dato momento, W P 1 - energia potenziale corpo sollevato ad un'altezza H, in un dato momento (energia di interazione), H- l'altezza del corpo in un dato momento, W P 2 - energia potenziale di un corpo deformato in un dato momento, Δ l- allungamento assoluto del corpo in un dato momento nel tempo.

Se in un sistema chiuso non sono presenti forze esterne (ad esempio forze di attrito), l'energia meccanica totale del sistema chiuso si conserva.

Pendolo matematico

Consideriamo le trasformazioni di energia durante le oscillazioni di un pendolo matematico. Scegliamo un sistema di riferimento in modo tale che nella posizione di equilibrio la sua energia potenziale sia uguale a zero.

Quando un pendolo matematico oscilla, l'altezza cambia H cambia il peso relativo alla posizione di equilibrio e la sua velocità υ (Fig. 1). Inoltre, ai massimi spostamenti, l'altezza raggiunge il suo valore massimo H max, e la velocità diventa uguale a zero, nella posizione di equilibrio è il contrario: l'altezza del corpo è zero e la velocità raggiunge il valore massimo υ max.

Poiché l'altezza di un corpo determina la sua energia potenziale Wp\(\left(W_(p) =m\cdot g\cdot h\right),\) e la velocità è energia cinetica sett\(\left(W_(k) =\frac(m\cdot \upsilon ^(2))(2) \right),\) quindi insieme al cambiamento di altitudine e velocità, cambierà anche l'energia.

Designazioni nella tabella:

\(W_(p\; \max ) = m\cdot g\cdot h_(\max ), \; \; \; W_(p2) =m\cdot g\cdot h_(2), \; \; \ ; W_(p4) =m\cdot g\cdot h_(4), \; \; \; W_(p6) =m\cdot g\cdot h_(6),\)

Mex-majat-2-01.swf Riso. 3 Aumentare il flash

Pendolo a molla

Consideriamo le trasformazioni di energia durante le oscillazioni di un pendolo a molla orizzontale. Scegliamo un sistema di riferimento in modo tale che nella posizione di equilibrio la sua energia potenziale sia uguale a zero.

Quando un pendolo a molla oscilla, l'allungamento assoluto della molla Δ cambia l rispetto alla posizione di equilibrio (cioè lo spostamento del peso cambia X = Δ l) e la velocità del peso υ cambia (Fig. 3). Inoltre, ai massimi spostamenti, l'allungamento assoluto raggiunge il valore massimo Δ l max, e la velocità diventa pari a zero, nella posizione di equilibrio è il contrario: l'elongazione assoluta è zero, e la velocità raggiunge il valore massimo υ max.

Poiché l'allungamento assoluto di una molla determina la sua energia potenziale Wp\(\left(W_(p) =\frac(k\cdot \Delta l^(2))(2) \right),\) e la velocità è l'energia cinetica sett\(\left(W_(k) =\frac(m\cdot \upsilon ^(2))(2) \right),\) quindi, insieme ad un cambiamento nell'allungamento assoluto e nella velocità, cambieranno anche le energie .

Designazioni nella tabella:

\(W_(p\; \max ) =\frac(k\cdot x_(\max )^(2) )(2), \;\;\; W_(p2) =\frac(k\cdot x_( 2)^(2) )(2), \;\;\; W_(p4) =\frac(k\cdot x_(4)^(2) )(2), \;\;\; W_(p6 ) =\frac(k\cdot x_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(k\; \max ) =\frac(m\cdot \upsilon _(\max )^(2) )(2), \; \; \; W_(k2) =\frac(m\cdot \upsilon _(2)^(2) )(2), \; \; \; W_(k4) =\frac(m\cdot \upsilon _(4)^(2) )(2), \; \ ; \; W_(k6) =\frac(m\cdot \upsilon _(6)^(2) )(2).\)

Energia totale il pendolo persiste nel tempo perché non esiste alcuna forza di attrito. Poi

\(W=W_(k\, \max ) = W_(p\, \max ) = W_(k2) + W_(p2) = W_(k4) +W_(p4) = ...\)

Mex-majat-2-02.swf Riso. 5 Aumenta il flash

Se per pendolo a molla verticale scegliamo un sistema di riferimento in modo tale che nella posizione di equilibrio la sua energia potenziale sia uguale a zero, allora tutto quanto descritto sopra per un pendolo orizzontale può essere applicato a questo pendolo.

Letteratura

1. Zhilko, V.V. Fisica: libro di testo. Manuale per l'istruzione generale dell'undicesimo grado. scuola dal russo lingua formazione / V.V. Zhilko, L.G. Markovich. - Minsk: Nar. Asveta, 2009. - pp. 19-21.

I pendoli mostrati in Fig. 2, rappresentano corpi estesi varie forme e dimensioni, oscillando attorno al punto di sospensione o di appoggio. Tali sistemi sono chiamati pendoli fisici. In uno stato di equilibrio, quando il baricentro si trova sulla verticale al di sotto del punto di sospensione (o di appoggio), la forza di gravità è bilanciata (tramite le forze elastiche di un pendolo deformato) dalla reazione del supporto. Quando si devia dalla posizione di equilibrio, la gravità e le forze elastiche determinano l'accelerazione angolare del pendolo in ogni momento del tempo, cioè determinano la natura del suo movimento (oscillazione). Esamineremo ora la dinamica delle oscillazioni in modo più dettagliato utilizzando l'esempio più semplice del cosiddetto pendolo matematico, che è un piccolo peso sospeso su un filo lungo e sottile.

In un pendolo matematico possiamo trascurare la massa del filo e la deformazione del peso, cioè possiamo supporre che la massa del pendolo sia concentrata nel peso e le forze elastiche siano concentrate nel filo, che è considerato inestensibile . Vediamo ora con quali forze oscilla il nostro pendolo dopo che è stato in qualche modo spostato dalla sua posizione di equilibrio (spinta, deflessione).

Quando il pendolo è fermo nella posizione di equilibrio, la forza di gravità che agisce sul suo peso e diretta verticalmente verso il basso è bilanciata dalla forza di tensione del filo. Nella posizione deviata (Fig. 15), la forza di gravità agisce in un angolo rispetto alla forza di tensione diretta lungo il filo. Scomponiamo la forza di gravità in due componenti: nella direzione del filo () e perpendicolare ad esso (). Quando il pendolo oscilla, la forza di tensione del filo supera leggermente il componente, della quantità di forza centripeta, che costringe il carico a muoversi lungo un arco. La componente è sempre diretta verso la posizione di equilibrio; sembra che stia cercando di ripristinare questa situazione. Pertanto, viene spesso chiamata la forza ripristinatrice. Più il pendolo viene deviato, maggiore è il valore assoluto.

Riso. 15. Ripristino della forza quando il pendolo si discosta dalla posizione di equilibrio

Quindi, non appena il pendolo, durante le sue oscillazioni, inizia a deviare dalla posizione di equilibrio, diciamo a destra, appare una forza che rallenta il suo movimento tanto più quanto più viene deviato. Alla fine, questa forza lo fermerà e lo riporterà alla posizione di equilibrio. Tuttavia, man mano che ci avviciniamo a questa posizione, la forza diventerà sempre minore e nella posizione di equilibrio stessa diventerà zero. Pertanto, il pendolo passa attraverso la posizione di equilibrio per inerzia. Non appena inizia a deviare a sinistra, apparirà di nuovo una forza, crescente con l'aumentare della deviazione, ma ora diretta a destra. Il movimento a sinistra rallenterà nuovamente, poi il pendolo si fermerà per un momento, dopodiché inizierà il movimento accelerato a destra, ecc.

Cosa succede all'energia di un pendolo mentre oscilla?

Due volte durante il periodo - nelle deviazioni maggiori a sinistra e a destra - il pendolo si ferma, cioè in questi momenti la velocità è zero, il che significa che l'energia cinetica è zero. Ma è proprio in questi momenti che il baricentro del pendolo si alza altezza massima e quindi l'energia potenziale è maggiore. Al contrario, nei momenti di passaggio attraverso la posizione di equilibrio, l'energia potenziale è la più bassa e la velocità e l'energia cinetica raggiungono i loro valori più grandi.

Assumeremo che le forze di attrito del pendolo contro l'aria e l'attrito nel punto di sospensione possano essere trascurate. Quindi, secondo la legge di conservazione dell'energia, questa energia cinetica massima è esattamente uguale all'eccesso di energia potenziale nella posizione di massima deviazione rispetto all'energia potenziale nella posizione di equilibrio.

Quindi, quando il pendolo oscilla, si verifica una transizione periodica dell'energia cinetica in energia potenziale e viceversa, e il periodo di questo processo è lungo la metà del periodo di oscillazione del pendolo stesso. Tuttavia, l'energia totale del pendolo (la somma dell'energia potenziale e cinetica) è sempre costante. È uguale all'energia impartita al pendolo al momento del lancio, non importa se sotto forma di energia potenziale (deflessione iniziale) o sotto forma di energia cinetica (spinta iniziale).

È il caso di eventuali oscillazioni in assenza di attrito o di qualsiasi altro processo che tolga energia al sistema oscillante o gli trasmetta energia. Ecco perché l'ampiezza rimane invariata ed è determinata dalla deflessione iniziale o dalla forza della spinta.

Otterremo gli stessi cambiamenti nella forza di richiamo e lo stesso trasferimento di energia se, invece di appendere la palla ad un filo, la facciamo rotolare su un piano verticale in una coppa sferica o in una scanalatura curvata lungo la circonferenza. In questo caso, il ruolo di tensione del filo sarà assunto dalla pressione delle pareti della tazza o della grondaia (trascuriamo ancora una volta l'attrito della pallina contro le pareti e l'aria).

10.4. Legge di conservazione dell'energia durante le oscillazioni armoniche

10.4.1. Risparmio energetico a vibrazioni armoniche meccaniche

Conservazione dell'energia durante le oscillazioni di un pendolo matematico

Durante le vibrazioni armoniche, l'energia meccanica totale del sistema si conserva (rimane costante).

Energia meccanica totale di un pendolo matematico

E = W k + W p ,

dove W k è l'energia cinetica, W k = = mv 2 /2; W p - energia potenziale, W p = mgh; m è la massa del carico; g - modulo di accelerazione di caduta libera; v - modulo velocità di carico; h è l'altezza del carico sopra la posizione di equilibrio (Fig. 10.15).

Durante le oscillazioni armoniche, un pendolo matematico attraversa una serie di stati successivi, quindi è consigliabile considerare l'energia di un pendolo matematico in tre posizioni (vedi Fig. 10.15):

Riso. 10.15

1) dentro posizione di equilibrio

l'energia potenziale è zero; L’energia totale coincide con l’energia cinetica massima:

E = W kmax ;

2) dentro situazione di emergenza(2) il corpo viene sollevato sopra il livello iniziale fino all'altezza massima h max, quindi anche l'energia potenziale è massima:

W p max = m g h max ;

l'energia cinetica è zero; l’energia totale coincide con l’energia potenziale massima:

E = Wpmax;

3) dentro posizione intermedia(3) il corpo ha una velocità istantanea v e si solleva sopra il livello iniziale fino ad una certa altezza h, quindi l'energia totale è la somma

E = m v 2 2 + m g h ,

dove mv 2 /2 è l'energia cinetica; mgh: energia potenziale; m è la massa del carico; g - modulo di accelerazione di caduta libera; v - modulo velocità di carico; h - altezza di sollevamento del carico sopra la posizione di equilibrio.

Durante le oscillazioni armoniche di un pendolo matematico, l'energia meccanica totale si conserva:

E = cost.

I valori dell'energia totale del pendolo matematico nelle sue tre posizioni si riflettono nella tabella. 10.1.

Valori completi energia meccanica, presentato nell'ultima colonna della tabella. 10.1, hanno valori uguali per qualsiasi posizione del pendolo, che è un'espressione matematica:

mvmax 2 2 = mghmax;

m vmax 2 2 = m v 2 2 + m g h ;

m g h max = m v 2 2 + m g h ,

dove m è la massa del carico; g - modulo di accelerazione di caduta libera; v è il modulo della velocità istantanea del carico in posizione 3; h - altezza di sollevamento del carico sopra la posizione di equilibrio nella posizione 3; v max - modulo della velocità massima del carico in posizione 1; h max - altezza massima di sollevamento del carico sopra la posizione di equilibrio nella posizione 2.

Angolo di deflessione del filo pendolo matematico dalla verticale (Fig. 10.15) è determinato dall'espressione

cos α = l - hl = 1 - hl ,

dove l è la lunghezza del filo; h - altezza di sollevamento del carico sopra la posizione di equilibrio.

Angolo massimo la deviazione α max è determinata dall'altezza massima di sollevamento del carico sopra la posizione di equilibrio h max:

cos α max = 1 - h max l .

Esempio 11. Il periodo delle piccole oscillazioni di un pendolo matematico è 0,9 s. Qual è l'angolo massimo al quale il filo devierà dalla verticale se, superando la posizione di equilibrio, la pallina si muove ad una velocità di 1,5 m/s? Non c'è attrito nel sistema.

Soluzione. La figura mostra due posizioni del pendolo matematico:

• posizione di equilibrio 1 (caratterizzata dalla velocità massima della palla v max);
• posizione estrema 2 (caratterizzata dalla massima altezza di sollevamento della palla h max sopra la posizione di equilibrio).

L'angolo richiesto è determinato dall'uguaglianza

cos α max = l - h max l = 1 - h max l ,

dove l è la lunghezza del filo del pendolo.

Troviamo l'altezza massima della sfera del pendolo sopra la posizione di equilibrio dalla legge di conservazione dell'energia meccanica totale.

L'energia totale del pendolo nella posizione di equilibrio e nella posizione estrema è determinata dalle seguenti formule:

• in una posizione di equilibrio -

E1 = mvmax222,

dove m è la massa della sfera del pendolo; v max - modulo della velocità della palla nella posizione di equilibrio (velocità massima), v max = 1,5 m/s;

• in posizione estrema -

E2 = mghmax,

dove g è il modulo dell'accelerazione gravitazionale; h max è l'altezza massima della palla che si solleva sopra la posizione di equilibrio.

Legge di conservazione dell'energia meccanica totale:

m v max 2 2 = m g h max .

Esprimiamo da qui l'altezza massima di sollevamento della palla sopra la posizione di equilibrio:

h massimo = v massimo 2 2 g .

Determiniamo la lunghezza del filo dalla formula per il periodo di oscillazione di un pendolo matematico

T = 2 π l g ,

quelli. lunghezza del filo

l = T 2 g 4 π 2 .

Sostituiamo h max e l nell'espressione per il coseno dell'angolo desiderato:

cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

ed eseguire il calcolo tenendo conto dell'uguaglianza approssimativa π 2 = 10:

cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5 .

Ne consegue che l'angolo di deflessione massimo è di 60°.

A rigor di termini, con un angolo di 60° le oscillazioni della sfera non sono piccole ed è illegale utilizzare la formula standard per il periodo di oscillazione di un pendolo matematico.

Conservazione dell'energia durante le oscillazioni di un pendolo a molla

Energia meccanica totale di un pendolo a mollaè costituito da energia cinetica ed energia potenziale:

E = W k + W p ,

dove W k è l'energia cinetica, W k = mv 2 /2; W p - energia potenziale, W p = k (Δx ) 2 /2; m è la massa del carico; v - modulo velocità di carico; k è il coefficiente di rigidezza (elasticità) della molla; Δx - deformazione (tensione o compressione) della molla (Fig. 10.16).

Nel Sistema Internazionale di Unità, l'energia di un sistema oscillatorio meccanico è misurata in joule (1 J).

Durante le oscillazioni armoniche, il pendolo a molla attraversa una serie di stati successivi, quindi è consigliabile considerare l'energia del pendolo a molla in tre posizioni (vedi Fig. 10.16):

1) dentro posizione di equilibrio(1) la velocità del corpo ha valore massimo v max, quindi anche l'energia cinetica è massima:

W k max = m v max 2 2 ;

l'energia potenziale della molla è zero, poiché la molla non è deformata; L’energia totale coincide con l’energia cinetica massima:

E = W kmax ;

2) dentro situazione di emergenza(2) la molla ha una deformazione massima (Δx max), quindi anche l'energia potenziale ha un valore massimo:

W pmax = k (Δ x max) 2 2 ;

l'energia cinetica del corpo è zero; l’energia totale coincide con l’energia potenziale massima:

E = Wpmax;

3) dentro posizione intermedia(3) il corpo ha una velocità istantanea v, la molla ha una certa deformazione in questo momento (Δx), quindi l'energia totale è la somma

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

dove mv 2 /2 è l'energia cinetica; k (Δx) 2 /2 - energia potenziale; m è la massa del carico; v - modulo velocità di carico; k è il coefficiente di rigidezza (elasticità) della molla; Δx - deformazione (tensione o compressione) della molla.

Quando il carico di un pendolo a molla viene spostato dalla sua posizione di equilibrio, agisce su di esso forza ripristinatrice, la cui proiezione sulla direzione del movimento del pendolo è determinata dalla formula

Fx = −kx ,

dove x è lo spostamento del carico del pendolo a molla dalla posizione di equilibrio, x = ∆x, ∆x è la deformazione della molla; k è il coefficiente di rigidezza (elasticità) della molla del pendolo.

Durante le oscillazioni armoniche di un pendolo a molla, l'energia meccanica totale si conserva:

E = cost.

I valori dell'energia totale del pendolo a molla nelle sue tre posizioni si riflettono nella tabella. 10.2.

I valori dell'energia meccanica totale presentati nell'ultima colonna della tabella hanno valori uguali per qualsiasi posizione del pendolo, che è un'espressione matematica legge di conservazione dell’energia meccanica totale:

m vmax 2 2 = k (Δ x max) 2 2 ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

dove m è la massa del carico; v è il modulo della velocità istantanea del carico in posizione 3; Δx - deformazione (tensione o compressione) della molla in posizione 3; v max - modulo della velocità massima del carico in posizione 1; Δx max - deformazione massima (tensione o compressione) della molla in posizione 2.

Esempio 12. Un pendolo a molla esegue oscillazioni armoniche. Quante volte la sua energia cinetica è maggiore della sua energia potenziale nel momento in cui lo spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio è un quarto dell'ampiezza?

Soluzione. Confrontiamo due posizioni del pendolo a molla:

• posizione estrema 1 (caratterizzata dallo spostamento massimo del carico del pendolo dalla posizione di equilibrio x max);
• posizione intermedia 2 (caratterizzata da valori intermedi di spostamento dalla posizione di equilibrio x e velocità v →).

L'energia totale del pendolo nelle posizioni estreme e intermedie è determinata dalle seguenti formule:

• in posizione estrema -

E1 = k (Δxmax) 2 2,

dove k è il coefficiente di rigidezza (elasticità) della molla; ∆x max - ampiezza delle oscillazioni (spostamento massimo dalla posizione di equilibrio), ∆x max = A;

• in una posizione intermedia -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

dove m è la massa del carico del pendolo; ∆x - spostamento del carico dalla posizione di equilibrio, ∆x = A /4.

La legge di conservazione dell'energia meccanica totale per un pendolo a molla ha la seguente forma:

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .

Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza scritta per k (∆x) 2 /2:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

dove W k è l'energia cinetica del pendolo in posizione intermedia, W k = mv 2 /2; W p - energia potenziale del pendolo in una posizione intermedia, W p = k (∆x) 2 /2.

Esprimiamo il rapporto energetico richiesto dall'equazione:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1

e calcolarne il valore:

W k W p = (UNA UN / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15 .

Nel momento indicato, il rapporto tra l'energia cinetica e quella potenziale del pendolo è 15.

Definizione

Pendolo matematico- questo è un sistema oscillatorio, che è un caso speciale di pendolo fisico, la cui intera massa è concentrata in un punto, il centro di massa del pendolo.

Solitamente un pendolo matematico viene rappresentato come una palla sospesa ad un lungo filo privo di peso ed inestensibile. Questo è un sistema idealizzato che esegue oscillazioni armoniche sotto l'influenza della gravità. Buona approssimazione al pendolo matematico massiccio piccola palla oscillante su un filo lungo e sottile.

Galileo fu il primo a studiare le proprietà matematiche di un pendolo esaminando l'oscillazione di un lampadario su una lunga catena. Scoprì che il periodo di oscillazione di un pendolo matematico non dipende dall'ampiezza. Se, quando si lancia il pendolo, viene deviato con piccoli angoli diversi, le sue oscillazioni avverranno con lo stesso periodo, ma con ampiezze diverse. Questa proprietà si chiama isocronismo.

Equazione del moto di un pendolo matematico

Un pendolo matematico è un classico esempio di oscillatore armonico. Esegue oscillazioni armoniche, che sono descritte dall'equazione differenziale:

\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]

dove $\varphi $ è l'angolo di deviazione del filo (sospensione) dalla posizione di equilibrio.

La soluzione dell'equazione (1) è la funzione $\varphi (t):$

\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]

dove $\alpha $ è la fase iniziale delle oscillazioni; $(\varphi )_0$ - ampiezza delle oscillazioni; $(\omega )_0$ - frequenza ciclica.

Le oscillazioni di un oscillatore armonico sono esempio importante movimento periodico. L'oscillatore funge da modello in molti problemi di meccanica classica e quantistica.

Frequenza ciclica e periodo di oscillazione di un pendolo matematico

La frequenza ciclica di un pendolo matematico dipende solo dalla durata della sua sospensione:

\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\sinistra(3\destra).\]

Il periodo di oscillazione di un pendolo matematico ($T$) in questo caso è pari a:

L'espressione (4) mostra che il periodo di un pendolo matematico dipende solo dalla lunghezza della sua sospensione (la distanza dal punto di sospensione al baricentro del carico) e dall'accelerazione di gravità.

Equazione dell'energia per un pendolo matematico

Quando si considerano le fluttuazioni sistemi meccanici con un grado di libertà, spesso si prende come iniziale l’equazione dell’energia e non le equazioni del moto di Newton. Poiché è più facile da comporre ed è un'equazione del primo ordine nel tempo. Supponiamo che non ci siano attriti nel sistema. La legge di conservazione dell'energia per l'esecutore vibrazioni libere Scriviamo un pendolo matematico (piccole oscillazioni) come:

dove $E_k$ è l'energia cinetica del pendolo; $E_p$ è l'energia potenziale del pendolo; $v$ è la velocità del pendolo; $x$ è lo spostamento lineare del peso del pendolo dalla posizione di equilibrio lungo un arco circolare di raggio $l$, mentre lo spostamento angolare è correlato a $x$ come:

\[\varphi =\frac(x)(l)\sinistra(6\destra).\]

Il valore massimo dell’energia potenziale di un pendolo matematico è:

Valore massimo dell'energia cinetica:

dove $h_m$ è l'altezza massima del pendolo; $x_m$ è la deviazione massima del pendolo dalla posizione di equilibrio; $v_m=(\omega )_0x_m$ - velocità massima.

Esempi di problemi con soluzioni

Esempio 1

Esercizio. Qual è l'altezza massima di sollevamento della sfera di un pendolo matematico se la sua velocità di movimento nel passaggio attraverso la posizione di equilibrio fosse $v$?

Soluzione. Facciamo un disegno.

Lasciando che l'energia potenziale della palla sia zero nella sua posizione di equilibrio (punto 0), a questo punto la velocità della palla è massima e pari a $v$ a seconda delle condizioni del problema. Nel punto di massima salita della palla sopra la posizione di equilibrio (punto A), la velocità della palla è zero, l'energia potenziale è massima. Scriviamo la legge di conservazione dell'energia per le due posizioni considerate della palla:

\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \sinistra(1.1\destra).\]

Dall'equazione (1.1) troviamo l'altezza richiesta:

Risposta.$h=\frac(v^2)(2g)$

Esempio 2

Esercizio. Qual è l'accelerazione di gravità se un pendolo matematico di lunghezza $l=1\ m$ oscilla con un periodo pari a $T=2\ s$? Considera piccole le oscillazioni di un pendolo matematico.\textit()

Soluzione. Come base per risolvere il problema, prendiamo la formula per calcolare il periodo di piccole oscillazioni:

Esprimiamo l'accelerazione da esso:

Calcoliamo l'accelerazione di gravità:

Risposta.$g=9,87\ \frac(m)(s^2)$