Se un corpo attaccato a una molla (Figura 4) viene deviato dalla posizione di equilibrio di una distanza A, ad esempio verso sinistra, allora, dopo aver attraversato la posizione di equilibrio, si defletterà verso destra. Ciò segue dalla legge di conservazione dell’energia.

L'energia potenziale di una molla compressa o allungata è pari a

dove k è la rigidezza della molla e x è il suo allungamento. Nella posizione più a sinistra, l'allungamento della molla è x = - A, quindi l'energia potenziale è uguale a

L'energia cinetica in questo momento è zero perché la velocità è zero. Ciò significa che l'energia potenziale è l'energia meccanica totale del sistema in questo momento. Se concordiamo sul fatto che la forza di attrito è zero e le altre forze sono bilanciate, allora il nostro sistema può essere considerato chiuso e la sua energia totale non può cambiare durante il movimento. Quando il corpo, durante il suo movimento, è nella posizione estrema destra (x = A), il suo energia cinetica sarà nuovamente uguale a zero e l'energia totale sarà nuovamente uguale al potenziale. Ma l’energia totale non può cambiare. Quindi è di nuovo uguale

Ciò significa che il corpo devierà verso destra di una distanza pari ad A.

Nella posizione di equilibrio, invece, l’energia potenziale è nulla perché la molla non è deformata, x = 0. In questa posizione l'energia totale del corpo è uguale alla sua energia cinetica

dove m è la massa del corpo e la sua velocità (in questo momento è massima). Ma anche questa energia cinetica deve avere lo stesso valore. Di conseguenza, durante il moto oscillatorio, l'energia cinetica viene convertita in energia potenziale e viceversa. In qualsiasi punto tra la posizione di equilibrio e quella di massima deviazione, il corpo possiede sia energia cinetica che energia potenziale, ma la loro somma, cioè L'energia totale in qualsiasi posizione del corpo è uguale. L'energia meccanica totale W di un corpo oscillante è proporzionale al quadrato dell'ampiezza e delle sue oscillazioni

Pendoli. Pendolo matematico

Un pendolo è un qualsiasi corpo sospeso in modo che il suo centro di gravità sia al di sotto del punto di sospensione. Ciò significa che un carico sospeso su una fune è un sistema oscillatorio simile ad un pendolo orologio da parete. Qualsiasi sistema capace di oscillazioni libere ha una posizione di equilibrio stabile. Per un pendolo è la posizione in cui il baricentro si trova verticalmente sotto il punto di sospensione. Se togliamo il pendolo da questa posizione o lo spingiamo, inizierà a oscillare, deviando prima in una direzione o nell'altra dalla posizione di equilibrio. Sappiamo che la massima deviazione dalla posizione di equilibrio raggiunta dal pendolo è chiamata ampiezza delle oscillazioni. L'ampiezza è determinata dalla deflessione iniziale o dalla spinta con cui il pendolo è stato messo in movimento. Questa proprietà - la dipendenza dell'ampiezza dalle condizioni all'inizio del movimento - è caratteristica non solo delle oscillazioni libere di un pendolo, ma in generale delle oscillazioni libere di molti sistemi oscillatori.

Il periodo di oscillazione di un pendolo fisico dipende da molte circostanze: dalla dimensione e dalla forma del corpo, dalla distanza tra il baricentro e il punto di sospensione e dalla distribuzione della massa corporea rispetto a questo punto; Pertanto, calcolare il periodo di un corpo sospeso è un compito piuttosto difficile. La situazione è più semplice per un pendolo matematico. Un pendolo matematico è un pendolo sospeso filo sottile un carico le cui dimensioni sono molto inferiori alla lunghezza del filo e la sua massa è molto maggiore della massa del filo. Ciò significa che il corpo (carico) e il filo devono essere tali che il carico possa essere considerato un punto materiale e il filo senza peso. Dall'osservazione di tali pendoli si possono stabilire le seguenti semplici leggi.

1. Se, pur mantenendo la stessa lunghezza del pendolo (la distanza dal punto di sospensione al baricentro del carico), si appendono carichi diversi, allora il periodo di oscillazione sarà lo stesso, sebbene le masse del pendolo i carichi sono molto diversi. Il periodo di un pendolo matematico non dipende dalla massa del carico.

2. La forza che agisce sul corpo in qualsiasi punto della traiettoria è diretta verso la posizione di equilibrio e nel punto di equilibrio stesso è uguale a zero.

3. La forza è proporzionale alla deviazione del corpo dalla posizione di equilibrio.

Riso. 5.

4. Se, avviando un pendolo, lo deflessiamo ad angoli diversi (ma non troppo grandi), oscillerà con lo stesso periodo, anche se con ampiezze diverse. Finché le ampiezze non sono troppo grandi, le oscillazioni sono abbastanza vicine nella loro forma a quella armonica, e il periodo di un pendolo matematico non dipende dall'ampiezza delle oscillazioni. Questa proprietà è chiamata isocronismo (dalle parole greche “isos” - uguale, “chronos” - tempo).

Questo fatto fu stabilito per la prima volta nel 1655 da Galileo, presumibilmente nelle seguenti circostanze. Galileo osservò nel Duomo di Pisa l'oscillazione di un lampadario (in una chiesa ortodossa, un lampadario centrale, una lampada con molte candele o lampade) su una lunga catena, che veniva spinta quando era accesa. Durante il servizio, le oscillazioni si sono gradualmente attenuate (capitolo 8), cioè l'ampiezza delle oscillazioni è diminuita, ma il periodo è rimasto lo stesso. Galileo usò il proprio polso come indicatore del tempo.

Questa proprietà del pendolo si è rivelata non solo sorprendente, ma anche utile. Galileo propose di utilizzare un pendolo come regolatore in un orologio. Ai tempi di Galileo, gli orologi erano azionati da un peso e per regolare la velocità veniva utilizzato un dispositivo rozzo come le pale di un mulino a vento, che sfruttava la resistenza dell'aria. Per contare periodi di tempo uguali si potrebbe usare un pendolo, poiché le piccole oscillazioni si verificano contemporaneamente a quelle grandi causate da raffiche di vento casuali. Un secolo dopo Galileo entrarono in uso gli orologi a pendolo, ma i marinai avevano ancora bisogno di orologi precisi per misurare la longitudine in mare. Fu bandito un premio per la creazione di un orologio marino che permettesse di misurare il tempo con sufficiente precisione. Garisson ha ricevuto il premio per un cronometro in cui venivano utilizzati un volano (bilanciamento) e una molla speciale per regolare il movimento.

Deriviamo ora una formula per il periodo di oscillazione di un pendolo matematico.

Quando il pendolo oscilla, il carico si muove accelerato lungo l'arco BA (Fig. 5, a) sotto l'influenza della forza di ritorno P 1, che cambia durante il movimento.

Calcolare il moto di un corpo sotto l'azione di una forza variabile è piuttosto complicato. Pertanto, per semplificare le cose, procederemo come segue.

Facciamo in modo che il pendolo non oscilli su un piano, ma descriviamo un cono in modo che il carico si muova in un cerchio (Fig. 5, b). Questo movimento può essere ottenuto come risultato della somma di due vibrazioni indipendenti: una - sempre nel piano del disegno e l'altra - in un piano perpendicolare. Ovviamente i periodi di entrambe queste oscillazioni piane sono gli stessi, poiché ogni piano di oscillazione non è diverso da qualsiasi altro. Di conseguenza, il periodo di movimento complesso - la rotazione del pendolo lungo un cono - sarà uguale al periodo di oscillazione su un piano. Questa conclusione può essere facilmente illustrata dall'esperienza diretta prendendo due pendoli identici e facendo oscillare uno di essi su un piano e l'altro una rotazione lungo un cono.

Ma il periodo di rivoluzione del pendolo “conico” è pari alla lunghezza del cerchio descritto dal carico, divisa per la velocità:

Se l'angolo di deviazione dalla verticale è piccolo (piccole ampiezze!), allora possiamo supporre che la forza di ritorno P 1 sia diretta lungo il raggio del cerchio BC, cioè uguale alla forza centripeta:

D'altra parte dalla somiglianza dei triangoli OBC e DBE segue che BE: BD = CB: OB. Poiché OB=l, CB=r, BE=P 1, quindi da qui

Uguagliando tra loro entrambe le espressioni P 1, otteniamo la velocità di circolazione

Infine, sostituendolo nell'espressione del periodo T, otteniamo

Quindi il periodo di un pendolo matematico dipende solo dall'accelerazione caduta libera g e dalla lunghezza del pendolo l, cioè la distanza dal punto di sospensione al baricentro del carico. Dalla formula risultante segue che il periodo del pendolo non dipende dalla sua massa e dalla sua ampiezza (a condizione che sia sufficientemente piccola). In altre parole, le leggi fondamentali precedentemente stabilite dalle osservazioni sono state ottenute mediante calcoli.

Ma questa conclusione teorica ci dà di più: ci permette di stabilire una relazione quantitativa tra il periodo del pendolo, la sua lunghezza e l'accelerazione di gravità. Il periodo di un pendolo matematico è proporzionale alla radice quadrata del rapporto tra la lunghezza del pendolo e l'accelerazione di gravità. Il coefficiente di proporzionalità è 2?.

La dipendenza del periodo del pendolo dall'accelerazione della caduta libera è molto basata modo esatto determinare questa accelerazione. Dopo aver misurato la lunghezza del pendolo l e determinato da elevato numero periodo di oscillazione T, possiamo calcolare utilizzando la formula risultante g. Questo metodo non è ampiamente utilizzato nella pratica.

coordinata di risonanza dell’oscillazione del pendolo

Nella tecnologia e nel mondo che ci circonda spesso abbiamo a che fare periodico(O quasi periodico) processi che si ripetono a intervalli regolari. Tali processi sono chiamati oscillatorio.

Le oscillazioni sono uno dei processi più comuni in natura e tecnologia. Ali di insetti e uccelli in volo, grattacieli e cavi dell'alta tensione sotto l'influenza del vento, il pendolo di un orologio a carica e un'auto sulle molle durante la guida, il livello del fiume durante tutto l'anno e la temperatura corpo umano in caso di malattia, il suono è una fluttuazione della densità e della pressione dell'aria, le onde radio sono cambiamenti periodici nell'intensità dei campi elettrici e magnetici, luce visibile- anche vibrazioni elettromagnetiche, solo con lunghezze d'onda e frequenze leggermente diverse, terremoti - vibrazioni del suolo, pulsazioni - contrazioni periodiche del muscolo cardiaco umano, ecc.

Le oscillazioni possono essere meccaniche, elettromagnetiche, chimiche, termodinamiche e varie altre. Nonostante tale diversità, hanno tutti molto in comune.

I fenomeni oscillatori di varia natura fisica sono soggetti a leggi generali. Ad esempio, le oscillazioni della corrente in un circuito elettrico e le oscillazioni di un pendolo matematico possono essere descritte dalle stesse equazioni. La comunanza dei modelli oscillatori ci consente di considerare processi oscillatori di varia natura da un unico punto di vista. Cartello movimento oscillatorioè suo periodicità.

Vibrazioni meccaniche –Questomovimenti che si ripetono esattamente o approssimativamente a intervalli regolari.

Esempi di sistemi oscillatori semplici sono un carico su una molla (pendolo a molla) o una sfera su una corda (pendolo matematico).

Durante le vibrazioni meccaniche, l'energia cinetica e quella potenziale cambiano periodicamente.

A deviazione massima corpo dalla sua posizione di equilibrio, dalla sua velocità, e quindi l'energia cinetica va a zero. In questa posizione energia potenziale corpo oscillante raggiunge il valore massimo. Per un carico su una molla, l'energia potenziale è l'energia deformazioni elastiche molle. Per un pendolo matematico, questa è l’energia nel campo gravitazionale della Terra.

Quando un corpo, nel suo movimento, passa posizione di equilibrio, la sua velocità è massima. Il corpo supera la posizione di equilibrio secondo la legge di inerzia. In questo momento sì Energia cinetica massima e energia potenziale minima. Un aumento dell'energia cinetica si verifica a causa di una diminuzione dell'energia potenziale.

Con ulteriore movimento, l'energia potenziale inizia ad aumentare a causa della diminuzione dell'energia cinetica, ecc.

Pertanto, durante le oscillazioni armoniche, avviene una trasformazione periodica dell'energia cinetica in energia potenziale e viceversa.

Se non c'è attrito nel sistema oscillatorio, l'energia meccanica totale durante le vibrazioni meccaniche rimane invariata.

Per carico a molla:

Nella posizione di massima deflessione, l'energia totale del pendolo è uguale all'energia potenziale della molla deformata:

Quando si passa attraverso la posizione di equilibrio, l'energia totale è uguale all'energia cinetica del carico:

Per piccole oscillazioni di un pendolo matematico:

Nella posizione di massima deviazione, l'energia totale del pendolo è uguale all'energia potenziale del corpo sollevato ad un'altezza h:

Quando si passa attraverso la posizione di equilibrio, l'energia totale è uguale all'energia cinetica del corpo:

Qui h m– l’altezza massima del pendolo nel campo gravitazionale terrestre, x m e υ M = ω 0 x m– valori massimi della deviazione del pendolo dalla posizione di equilibrio e della sua velocità.

Oscillazioni armoniche e loro caratteristiche. Equazione della vibrazione armonica.

Il tipo più semplice di processo oscillatorio è semplice vibrazioni armoniche , che sono descritti dall'equazione

X = x m cos(ω T + φ 0).

Qui X– spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio,
x m– ampiezza delle oscillazioni, cioè lo spostamento massimo dalla posizione di equilibrio,
ω – frequenza ciclica o circolare esitazione,
T- tempo.

Caratteristiche del moto oscillatorio.

Scostamento x – deviazione di un punto oscillante dalla sua posizione di equilibrio. L'unità di misura è 1 metro.

Ampiezza di oscillazione A – la deviazione massima di un punto oscillante dalla sua posizione di equilibrio. L'unità di misura è 1 metro.

Periodo di oscillazioneT– viene chiamato l’intervallo di tempo minimo durante il quale avviene un’oscillazione completa. L'unità di misura è 1 secondo.

T=t/N

dove t è il tempo di oscillazione, N è il numero di oscillazioni completate durante questo tempo.

Dal grafico delle oscillazioni armoniche è possibile determinare il periodo e l'ampiezza delle oscillazioni:

Frequenza di oscillazione ν – una quantità fisica pari al numero di oscillazioni nell'unità di tempo.

ν=N/t

La frequenza è il reciproco del periodo di oscillazione:

Frequenza oscillazioni ν mostra quante oscillazioni si verificano in 1 s. L'unità di frequenza è hertz(Hz).

Frequenza ciclica ω– numero di oscillazioni in 2π secondi.

La frequenza di oscillazione ν è correlata frequenza ciclica ω e periodo di oscillazione T rapporti:

Fase processo armonico - una quantità sotto il segno seno o coseno nell'equazione delle oscillazioni armoniche φ = ω T + φ 0 . A T= 0 φ = φ 0 , quindi φ 0 chiamato fase iniziale.

Grafico armonico rappresenta un'onda sinusoidale o coseno.

In tutti e tre i casi per le curve blu φ 0 = 0:

soltanto maggiore ampiezza(x" m > x m);

la curva rossa è diversa da quella blu soltanto Senso periodo(T" = T/2);

la curva rossa è diversa da quella blu soltanto Senso fase iniziale(lieto).

Quando un corpo oscilla lungo una linea retta (asse BUE) il vettore velocità è sempre diretto lungo questa retta. La velocità di movimento del corpo è determinata dall'espressione

In matematica, il procedimento per trovare il limite del rapporto Δх/Δt in Δ T→ 0 si dice calcolare la derivata della funzione X(T) col tempo T ed è indicato come X"(T).La velocità è uguale alla derivata della funzione x( T) col tempo T.

Per la legge armonica del moto X = x m cos(ω T+ φ 0) calcolando la derivata si ottiene il seguente risultato:

υ X =X"(T)= ω x m peccato (ω T + φ 0)

L'accelerazione è determinata in modo simile ascia corpi durante le vibrazioni armoniche. Accelerazione UNè uguale alla derivata della funzione υ( T) col tempo T, o la derivata seconda della funzione X(T). I calcoli danno:

e x =υ x"(t) =X""(T)= -ω2 x m cos(ω T+φ0)=-ω2 X

Il segno meno in questa espressione indica l'accelerazione UN(T) ha sempre il segno opposto a quello dello spostamento X(T), e quindi, secondo la seconda legge di Newton, la forza che fa compiere al corpo oscillazioni armoniche è sempre diretta verso la posizione di equilibrio ( X = 0).

La figura mostra i grafici delle coordinate, della velocità e dell'accelerazione di un corpo che esegue oscillazioni armoniche.

Grafici delle coordinate x(t), della velocità υ(t) e dell'accelerazione a(t) di un corpo che compie oscillazioni armoniche.

Pendolo a molla.

Pendolo a mollaè un carico di una certa massa m attaccato ad una molla di rigidezza k, la cui seconda estremità è fissata in modo fisso.

Frequenza naturaleω 0 oscillazioni libere del carico sulla molla si trovano dalla formula:

Periodo T vibrazioni armoniche del carico sulla molla è uguale a

Ciò significa il periodo di oscillazione pendolo a molla dipende dalla massa del carico e dalla rigidezza della molla.

Proprietà fisiche di un sistema oscillatorio determinare solo la frequenza naturale delle oscillazioni ω 0 e il periodo T . Parametri del processo di oscillazione come l'ampiezza x m e la fase iniziale φ 0 sono determinati dal modo in cui il sistema è stato portato fuori dall'equilibrio nell'istante iniziale.

Pendolo matematico.

Pendolo matematicochiamare il corpo piccole dimensioni, sospeso ad un sottile filo inestensibile, la cui massa è trascurabile rispetto alla massa del corpo.

Nella posizione di equilibrio, quando il pendolo pende a piombo, la forza di gravità è bilanciata dalla forza di tensione del filo N. Quando il pendolo si discosta dalla posizione di equilibrio di un certo angolo φ, appare una componente tangenziale della forza di gravità F τ = – mg peccato φ. Il segno meno in questa formula significa che la componente tangenziale è diretta nella direzione opposta alla deflessione del pendolo.

Pendolo matematico.φ – deviazione angolare del pendolo dalla posizione di equilibrio,

X= lφ – spostamento del pendolo lungo l'arco

La frequenza naturale delle piccole oscillazioni di un pendolo matematico è espressa dalla formula:

Periodo di oscillazione di un pendolo matematico:

Ciò significa che il periodo di oscillazione di un pendolo matematico dipende dalla lunghezza del filo e dall'accelerazione di caduta libera della zona in cui è installato il pendolo.

Vibrazioni libere e forzate.

Le vibrazioni meccaniche, come i processi oscillatori di qualsiasi altra natura fisica, possono esserlo gratuito E costretto.

Vibrazioni libere –Queste sono oscillazioni che si verificano in un sistema sotto l'influenza di forze interne, dopo che il sistema è stato rimosso da una posizione di equilibrio stabile.

Le oscillazioni di un peso su una molla o le oscillazioni di un pendolo sono oscillazioni libere.

Affinché si verifichino vibrazioni libere secondo la legge armonica, è necessario che la forza che tende a riportare il corpo nella posizione di equilibrio sia proporzionale allo spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio e diretta nella direzione opposta allo spostamento.

In condizioni reali, qualsiasi sistema oscillatorio è sotto l'influenza delle forze di attrito (resistenza). Inoltre, parte energia meccanica diventa Energia interna diventano il movimento termico degli atomi e delle molecole e le vibrazioni sbiadimento.

Sbiadimento chiamate oscillazioni la cui ampiezza diminuisce con il tempo.

Per evitare che le oscillazioni si attenuino è necessario fornire al sistema ulteriore energia, cioè influenzare il sistema oscillatorio con una forza periodica (ad esempio, per far oscillare un'altalena).

Vengono chiamate oscillazioni che si verificano sotto l'influenza di una forza esterna che cambia periodicamentecostretto.

Una forza esterna svolge un lavoro positivo e fornisce un flusso di energia al sistema oscillatorio. Non consente l'estinzione delle vibrazioni, nonostante l'azione delle forze di attrito.

Una forza esterna periodica può cambiare nel tempo secondo varie leggi. Di particolare interesse è il caso in cui una forza esterna, variando secondo una legge armonica con frequenza ω, agisce su un sistema oscillatorio capace di compiere le proprie oscillazioni ad una certa frequenza ω 0.

Se si verificano oscillazioni libere ad una frequenza ω 0, determinata dai parametri del sistema, allora si verificano sempre oscillazioni forzate costanti frequenza ω forza esterna .

Viene chiamato il fenomeno di un forte aumento dell'ampiezza delle oscillazioni forzate quando la frequenza delle oscillazioni naturali coincide con la frequenza della forza motrice esternarisonanza.

Dipendenza dall'ampiezza x m vengono chiamate oscillazioni forzate dalla frequenza ω della forza motrice caratteristica risonante O curva di risonanza.

Curve di risonanza a vari livelli di attenuazione:

1 – sistema oscillatorio senza attrito; alla risonanza, l'ampiezza x m delle oscillazioni forzate aumenta indefinitamente;

2, 3, 4 – curve di risonanza reali per sistemi oscillatori con diverso attrito.

In assenza di attrito, l'ampiezza delle oscillazioni forzate durante la risonanza dovrebbe aumentare senza limiti. In condizioni reali, l'ampiezza delle oscillazioni forzate stazionarie è determinata dalla condizione: il lavoro di una forza esterna durante il periodo di oscillazione deve essere uguale alla perdita di energia meccanica nello stesso tempo dovuta all'attrito. Minore è l'attrito, maggiore è l'ampiezza delle oscillazioni forzate durante la risonanza.

Il fenomeno della risonanza può causare la distruzione di ponti, edifici e altre strutture se le frequenze naturali delle loro oscillazioni coincidono con la frequenza periodica forza agente, che è sorto, ad esempio, a causa della rotazione di un motore sbilanciato.

Un sistema meccanico costituito da un punto materiale (corpo) sospeso su un filo inestensibile senza peso (la sua massa è trascurabile rispetto al peso del corpo) in un campo gravitazionale uniforme è chiamato pendolo matematico (un altro nome è oscillatore). Esistono altri tipi di questo dispositivo. Invece di un filo, è possibile utilizzare un'asta senza peso. Un pendolo matematico può rivelare chiaramente l'essenza di molti fenomeni interessanti. Quando l'ampiezza della vibrazione è piccola il suo movimento è detto armonico.

Panoramica del sistema meccanico

La formula per il periodo di oscillazione di questo pendolo fu derivata dallo scienziato olandese Huygens (1629-1695). Questo contemporaneo di I. Newton ne era molto interessato sistema meccanico. Nel 1656 creò il primo orologio con meccanismo a pendolo. Misuravano il tempo con una precisione eccezionale per quei tempi. Questa invenzione è diventata la fase più importante nello sviluppo di esperimenti fisici e attività pratiche.

Se il pendolo è nella posizione di equilibrio (penso verticalmente), sarà bilanciato dalla forza di tensione del filo. Un pendolo piatto su filo inestensibile è un sistema a due gradi di libertà con accoppiamento. Quando si cambia un solo componente, cambiano le caratteristiche di tutte le sue parti. Quindi, se la filettatura viene sostituita da un'asta, questo sistema meccanico avrà solo 1 grado di libertà. Quali proprietà ha un pendolo matematico? In questo sistema più semplice, il caos nasce sotto l'influenza di disturbi periodici. Nel caso in cui il punto di sospensione non si muove, ma oscilla, il pendolo ha una nuova posizione di equilibrio. Con rapide oscillazioni su e giù, questo sistema meccanico acquisisce una posizione stabile “capovolta”. Ha anche il suo nome. Si chiama pendolo di Kapitza.

Proprietà di un pendolo

Il pendolo matematico ha una funzione molto proprietà interessanti. Tutti loro sono confermati dalle leggi fisiche conosciute. Il periodo di oscillazione di qualsiasi altro pendolo dipende da diverse circostanze, come la dimensione e la forma del corpo, la distanza tra il punto di sospensione e il baricentro e la distribuzione della massa rispetto a questo punto. Questo è il motivo per cui è abbastanza semplice determinare il periodo di un corpo sospeso compito difficile. È molto più semplice calcolare il periodo di un pendolo matematico, la cui formula verrà fornita di seguito. Come risultato delle osservazioni di sistemi meccanici simili, è possibile stabilire i seguenti modelli:

Se, mantenendo la stessa lunghezza del pendolo, sospendiamo pesi diversi, il periodo delle loro oscillazioni sarà lo stesso, anche se le loro masse varieranno molto. Di conseguenza, il periodo di tale pendolo non dipende dalla massa del carico.

Se, all'avvio del sistema, il pendolo viene deviato non troppo grande, ma angoli diversi, allora inizierà ad oscillare con lo stesso periodo, ma con ampiezze diverse. Finché le deviazioni dal centro di equilibrio non sono troppo grandi, le vibrazioni nella loro forma saranno abbastanza vicine a quelle armoniche. Il periodo di un tale pendolo non dipende in alcun modo dall'ampiezza oscillatoria. Questa proprietà di un dato sistema meccanico è chiamata isocronismo (tradotto dal greco "chronos" - tempo, "isos" - uguale).

Periodo di un pendolo matematico

Questo indicatore rappresenta il periodo Nonostante la formulazione complessa, il processo in sé è molto semplice. Se la lunghezza del filo di un pendolo matematico è L e l'accelerazione della caduta libera è g, allora questo valore è uguale a:

Il periodo delle piccole oscillazioni naturali non dipende in alcun modo dalla massa del pendolo e dall'ampiezza delle oscillazioni. In questo caso il pendolo si muove come un pendolo matematico con una lunghezza ridotta.

Oscillazioni di un pendolo matematico

Un pendolo matematico oscilla, che può essere descritto da una semplice equazione differenziale:

x + ω2 peccato x = 0,

dove x (t) è una funzione sconosciuta (questo è l'angolo di deviazione dalla posizione di equilibrio inferiore al momento t, espresso in radianti); ω è una costante positiva, che è determinata dai parametri del pendolo (ω = √g/L, dove g è l'accelerazione di gravità e L è la lunghezza del pendolo matematico (sospensione).

L'equazione per piccole vibrazioni vicino alla posizione di equilibrio (equazione armonica) si presenta così:

x + ω2 peccato x = 0

Movimenti oscillatori di un pendolo

Un pendolo matematico, che fa piccole oscillazioni, si muove lungo una sinusoide. L'equazione differenziale del secondo ordine soddisfa tutti i requisiti e i parametri di tale movimento. Per determinare la traiettoria è necessario impostare la velocità e le coordinate, dalle quali si determinano poi delle costanti indipendenti:

x = A peccato (θ 0 + ωt),

dove θ 0 è la fase iniziale, A è l'ampiezza dell'oscillazione, ω è la frequenza ciclica determinata dall'equazione del moto.

Pendolo matematico (formule per grandi ampiezze)

Questo sistema meccanico, che oscilla con un'ampiezza significativa, è soggetto a leggi di movimento più complesse. Per un tale pendolo vengono calcolati secondo la formula:

peccato x/2 = u * sn(ωt/u),

dove sn è il seno di Jacobi, che per u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

dove ε = E/mL2 (mL2 è l'energia del pendolo).

Il periodo di oscillazione di un pendolo non lineare si determina utilizzando la formula:

dove Ω = π/2 * ω/2K(u), K è l'integrale ellittico, π - 3,14.

Movimento di un pendolo lungo una separatrice

Una separatrice è la traiettoria di un sistema dinamico che ha uno spazio delle fasi bidimensionale. Un pendolo matematico si muove lungo di esso in modo non periodico. In un momento infinitamente distante nel tempo, cade dalla sua posizione più alta verso un lato a velocità zero, per poi gradualmente riprenderla. Alla fine si ferma, tornando alla sua posizione originale.

Se l'ampiezza delle oscillazioni del pendolo si avvicina al numero π , ciò indica che il movimento sul piano delle fasi si sta avvicinando alla separatrice. In questo caso, sotto l'influenza di una piccola forza motrice periodica, il sistema meccanico mostra un comportamento caotico.

Quando un pendolo matematico si discosta dalla posizione di equilibrio di un certo angolo φ, si genera una forza di gravità tangenziale Fτ = -mg sin φ. Il segno meno significa che questa componente tangenziale è diretta nella direzione opposta alla deflessione del pendolo. Quando indichiamo con x lo spostamento del pendolo lungo un arco circolare di raggio L, il suo spostamento angolare è pari a φ = x/L. La seconda legge, destinata alle proiezioni e alla forza, darà il valore desiderato:

mgτ = Fτ = -mg sin x/L

In base a questa relazione è chiaro che questo pendolo è un sistema non lineare, poiché la forza che tende a riportarlo nella posizione di equilibrio è sempre proporzionale non allo spostamento x, ma al sin x/L.

Solo quando un pendolo matematico esegue piccole oscillazioni è un oscillatore armonico. In altre parole diventa un sistema meccanico capace di compiere oscillazioni armoniche. Questa approssimazione è praticamente valida per angoli di 15-20°. Le oscillazioni di un pendolo con grandi ampiezze non sono armoniche.

Legge di Newton per piccole oscillazioni di un pendolo

Se un dato sistema meccanico esegue piccole oscillazioni, la 2a legge di Newton sarà simile a questa:

mgτ = Fτ = -m* g/L* x.

Sulla base di ciò, possiamo concludere che un pendolo matematico è proporzionale al suo spostamento con un segno meno. Questa è la condizione per cui il sistema diventa un oscillatore armonico. Il modulo del coefficiente di proporzionalità tra spostamento e accelerazione è pari al quadrato della frequenza circolare:

ω02 = g/l; ω0 = √ g/L.

Questa formula riflette la frequenza naturale delle piccole oscillazioni di questo tipo di pendolo. Basato su questo,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Calcoli basati sulla legge di conservazione dell'energia

Le proprietà di un pendolo possono anche essere descritte utilizzando la legge di conservazione dell'energia. Va tenuto presente che il pendolo nel campo gravitazionale è uguale a:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Il totale è uguale al potenziale cinetico o massimo: Epmax = Ekmsx = E

Dopo aver scritto la legge di conservazione dell'energia, prendi la derivata dei lati destro e sinistro dell'equazione:

Poiché la derivata delle quantità costanti è uguale a 0, allora (Ep + Ek)" = 0. La derivata della somma è uguale alla somma delle derivate:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

quindi:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + mα) = 0.

In base all'ultima formula troviamo: α = - g/L*x.

Applicazione pratica di un pendolo matematico

L'accelerazione varia con la latitudine perché la densità della crosta terrestre non è la stessa in tutto il pianeta. Dove si trovano rocce con densità maggiore, sarà leggermente più alta. L'accelerazione di un pendolo matematico viene spesso utilizzata per l'esplorazione geologica. Viene utilizzato per cercare vari minerali. Semplicemente contando il numero di oscillazioni di un pendolo, è possibile individuare il carbone o il minerale nelle viscere della Terra. Ciò è dovuto al fatto che tali fossili hanno una densità e una massa maggiori delle rocce sciolte sottostanti.

Il pendolo matematico è stato utilizzato da scienziati eccezionali come Socrate, Aristotele, Platone, Plutarco, Archimede. Molti di loro credevano che questo sistema meccanico potesse influenzare il destino e la vita di una persona. Archimede utilizzava un pendolo matematico nei suoi calcoli. Al giorno d'oggi, molti occultisti e sensitivi usano questo sistema meccanico per realizzare le loro profezie o cercare persone scomparse.

Anche il famoso astronomo e naturalista francese K. Flammarion utilizzò un pendolo matematico per le sue ricerche. Affermò che con il suo aiuto era stato in grado di prevedere la scoperta nuovo pianeta, l'apparizione del meteorite Tunguska e altri eventi importanti. Durante la seconda guerra mondiale, in Germania (Berlino) operava un istituto specializzato nel pendolo. Oggigiorno l’Istituto di parapsicologia di Monaco è impegnato in ricerche simili. I dipendenti di questo stabilimento chiamano il loro lavoro con il pendolo “radiestesia”.

SCOPO: verificare sperimentalmente la legge di conservazione dell'energia del moto traslatorio-rotatorio su un pendolo di Maxwell; determinare la velocità del movimento traslazionale del pendolo utilizzando l'energia e le relazioni cinematiche e confrontarli.

ATTREZZATURA: Pendolo di Maxwell con anelli sostituibili; cronometro elettronico.

BASI DI TEORIA

La misura più generale del movimento della materia è la sua energia. In meccanica è l'energia meccanica corrispondente al movimento meccanico dei corpi. Esistono due tipi di energia meccanica: cinetica e potenziale.

Energia potenziale. Energia definita posizione relativa corpi interagenti e dipendenti solo dalle coordinate si chiama potenziale. Lavoro UN 12 , compiuta dalle forze conservatrici nel trasferimento di un sistema da uno stato a un altro, è uguale alla perdita di energia potenziale in questi stati .

A 12 = L 1 - L 2, (1)

Dove W 1 E W 2 rispettivamente, l'energia potenziale del sistema negli stati 1 e 2.

Il tipo specifico di energia potenziale dipende dalla natura del campo di forza. Nel campo della gravità, l'energia potenziale di un corpo di massa M ha la forma:

W = mghh, (2)

Dove G accelerazione della caduta libera;

H  altezza misurata dal livello in cui si trova l'energia potenziale W=0.

Energia cinetica. È l'energia che un corpo (o un sistema di corpi) possiede grazie al loro movimento. Se un corpo si muove in avanti con una velocità v e contemporaneamente ruota attorno ad un certo asse con velocità angolare  , allora l'energia cinetica totale del suo moto è pari a:

Dove M-peso corporeo;

IOmomento di inerzia.

Come puoi vedere, durante il movimento rotatorio il ruolo della velocità lineare è svolto dalla velocità angolare e il ruolo della massa è svolto dal momento di inerzia. Quantità di moto IO dipende non solo dalla massa, ma anche dalla distribuzione di questa massa rispetto all'asse di rotazione. Senso IO infatti alcuni corpi di forma geometrica regolare (asta lunga, disco, palla, cilindro) sono riportati nei libri di testo del corso di fisica generale.

Legge di conservazione dell'energia. L'energia meccanica di un sistema chiuso di corpi tra cui agiscono forze conservatrici rimane costante. In tali sistemi, quando un corpo si muove, l'energia cinetica viene convertita in energia potenziale e viceversa, e l'energia totale rimane costante. (Le forze conservative includono le forze gravitazionali, elastiche, di Coulomb, ecc.. Le forze non conservatrici sono le forze di attrito, resistenza, deformazioni anelastiche.).

L'energia meccanica si conserva anche nei sistemi aperti se le forze esterne non compiono lavoro, poiché la misura dell'energia è il lavoro svolto.

PROCEDURA SPERIMENTALE

La legge di conservazione dell'energia per il movimento traslatorio-rotatorio di un corpo viene verificata utilizzando un pendolo di Maxwell. Un pendolo di Maxwell è un disco montato su un asse. L'asse, a sua volta, è sospeso su due fili, fissati alle estremità superiori a staffe.

Questi fili possono essere avvolti attorno ad un asse e, quando non attorcigliati, il pendolo esegue un movimento traslatorio-rotatorio, ad es. sale e scende, ruotando.

Durante l'esperimento sono stati identificati due stati principali. Nello stato di 1 pendolo con massa Mè in cima H. L’energia meccanica del sistema in questo stato è pari solo all’energia potenziale:

E1 = W1 = mgh. (4)

Rilasciamo il pendolo. Sotto l'azione delle forze di gravità e tensione risultanti del filo, inizia a cadere (movimento in avanti) e le forze di tensione dei fili lo porteranno al movimento rotatorio.

Riso. 1. Forma generale Il pendolo di Maxwell.

T- forza di tensione del filo; F G - gravità.

Nello stato 2, un pendolo scendeva da un'altezza H, avanza con velocità v, mentre ruota attorno ad un asse passante per il centro di massa con velocità angolare  Pertanto, l'energia meccanica del sistema nello stato 2 è costituita dalle energie cinetiche del movimento traslatorio e rotatorio:

. (5)

In un sistema selezionato (un pendolo in un campo di gravità) deve essere soddisfatta la legge di conservazione dell'energia. La gravità è una forza conservativa. La tensione del filo è una forza esterna. ma non funziona, perché il suo punto di applicazione rimane in posizione durante una piccola rotazione del pendolo. Quindi:

. (6)

La velocità del movimento traslatorio del pendolo è correlata alla velocità angolare dalla relazione

v = ·r, (7)

Dove Rraggio dell'asse del pendolo.

Quindi la formula (6) assumerà la forma:

2gh = v 2 (1+I/mr 2). (8)

E la velocità del movimento traslazionale del pendolo assume il seguente significato:

. (9)

Per verificare la legge di conservazione dell'energia, calcoliamo la velocità in un altro modo indipendente, utilizzando le relazioni cinematiche note. Poiché il movimento del pendolo è uniformemente accelerato, se durante la caduta T il pendolo è passato H, la sua accelerazione è uguale

a = 2h / t2 . (10)

Da qui la velocità del moto traslatorio del pendolo alla fine del percorso:

v = un t = 2h/t. (undici)

La velocità in (9) dipende dal momento di inerzia del pendolo, che può essere modificato installando vari anelli sul disco. Il momento di inerzia del pendolo è definito come

I = I 0 + I D + I K. (12)

Dove IO 0 - momento di inerzia dell'asse,

- momento di inerzia del disco,

- momento di inerzia dell'anello,

R D , R A- raggi del disco e dell'anello.

Il raggio dell'anello è considerato il valore medio tra il raggio interno ed esterno. Poiché il raggio dell'asse del pendolo è molto più piccolo del raggio del disco, il momento d'inerzia dell'asse può essere trascurato.

Schema logico del metodo.

Se la velocità determinata dalla legge di conservazione dell'energia secondo la relazione (9) è uguale alla velocità determinata cinematicamente secondo la formula (11), ciò conferma la conservazione dell'energia per il sistema selezionato.

COMPLETAMENTO DEI LAVORI

1. Misurare il tempo di caduta del pendolo con uno degli anelli indicati dall'insegnante.

2. Ripetere le misurazioni 5-10 volte.

3. Misurare l'altezza della caduta e l'altezza della salita del pendolo.

4. Utilizzando un calibro, misurare il diametro dell'asse del pendolo, il diametro interno ed esterno dell'anello.

RISULTATI DELL'ELABORAZIONE

1. Calcola il tempo medio di caduta ed errore di misurazione statistica  T.

2. Calcola la velocità v 1 secondo la relazione (11).

3. Calcolare l'errore di misurazione della velocità  v 1 secondo la regola per il calcolo dell'errore per le misurazioni indirette.

4. Calcolare il momento d'inerzia del pendolo con l'anello. Su di essi sono segnate le masse del disco e dell'anello.

5. Calcola la velocità del pendolo v 2 secondo la relazione (9).

6. Determinare la misura della discrepanza  = ( v 1 - v 2 )/ v 1 e confrontare con il relativo errore v 1 =  v 1 / v 1 .

COMPITO AGGIUNTIVO

Determina la perdita di energia facendo la differenza tra l'altezza della caduta e la successiva altezza di risalita del pendolo.

Calcola la media forza effettiva attrito, creando perdita di energia.

DOMANDE DI CONTATTO

1. Quali tipi di energia meccanica esistono? Fornisci le loro definizioni.

2. Formulare la legge di conservazione dell'energia meccanica del sistema e le condizioni per la sua attuazione.

3. Descrivi la trasformazione dell'energia per il pendolo di Maxwell.

4. Qual è il momento d'inerzia di un corpo? Qual è il momento di inerzia del disco o dell'anello?

5. Come viene determinata la velocità del movimento traslatorio di un pendolo di Maxwell?

10.4. Legge di conservazione dell'energia durante le oscillazioni armoniche

10.4.1. Risparmio energetico a vibrazioni armoniche meccaniche

Conservazione dell'energia durante le oscillazioni di un pendolo matematico

Durante le vibrazioni armoniche, l'energia meccanica totale del sistema si conserva (rimane costante).

Energia meccanica totale di un pendolo matematico

E = W k + W p ,

dove W k è l'energia cinetica, W k = = mv 2 /2; W p - energia potenziale, W p = mgh; m è la massa del carico; g - modulo di accelerazione di caduta libera; v - modulo velocità di carico; h è l'altezza del carico sopra la posizione di equilibrio (Fig. 10.15).

Durante le oscillazioni armoniche, un pendolo matematico attraversa una serie di stati successivi, quindi è consigliabile considerare l'energia di un pendolo matematico in tre posizioni (vedi Fig. 10.15):

Riso. 10.15

1) dentro posizione di equilibrio

l'energia potenziale è zero; L’energia totale coincide con l’energia cinetica massima:

E = W kmax ;

2) dentro situazione di emergenza(2) il corpo viene sollevato sopra il livello iniziale fino all'altezza massima h max, quindi anche l'energia potenziale è massima:

W p max = m g h max ;

l'energia cinetica è zero; l’energia totale coincide con l’energia potenziale massima:

E = Wpmax;

3) dentro posizione intermedia(3) il corpo ha una velocità istantanea v e si solleva sopra il livello iniziale fino ad una certa altezza h, quindi l'energia totale è la somma

E = m v 2 2 + m g h ,

dove mv 2 /2 è l'energia cinetica; mgh: energia potenziale; m è la massa del carico; g - modulo di accelerazione di caduta libera; v - modulo velocità di carico; h - altezza di sollevamento del carico sopra la posizione di equilibrio.

Durante le oscillazioni armoniche di un pendolo matematico, l'energia meccanica totale si conserva:

E = cost.

I valori dell'energia totale del pendolo matematico nelle sue tre posizioni si riflettono nella tabella. 10.1.

I valori dell'energia meccanica totale presentati nell'ultima colonna della tabella. 10.1, hanno valori uguali per qualsiasi posizione del pendolo, che è un'espressione matematica:

mvmax 2 2 = mghmax;

m vmax 2 2 = m v 2 2 + m g h ;

m g h max = m v 2 2 + m g h ,

dove m è la massa del carico; g - modulo di accelerazione di caduta libera; v è il modulo della velocità istantanea del carico in posizione 3; h - altezza di sollevamento del carico sopra la posizione di equilibrio nella posizione 3; v max - modulo della velocità massima del carico in posizione 1; h max - altezza massima di sollevamento del carico sopra la posizione di equilibrio nella posizione 2.

Angolo di deflessione del filo pendolo matematico dalla verticale (Fig. 10.15) è determinato dall'espressione

cos α = l - hl = 1 - hl ,

dove l è la lunghezza del filo; h - altezza di sollevamento del carico sopra la posizione di equilibrio.

Angolo massimo la deviazione α max è determinata dall'altezza massima di sollevamento del carico sopra la posizione di equilibrio h max:

cos α max = 1 - h max l .

Esempio 11. Il periodo delle piccole oscillazioni di un pendolo matematico è 0,9 s. Qual è l'angolo massimo al quale il filo devierà dalla verticale se, superando la posizione di equilibrio, la pallina si muove ad una velocità di 1,5 m/s? Non c'è attrito nel sistema.

Soluzione. La figura mostra due posizioni del pendolo matematico:

• posizione di equilibrio 1 (caratterizzata dalla velocità massima della palla v max);
• posizione estrema 2 (caratterizzata dalla massima altezza di sollevamento della palla h max sopra la posizione di equilibrio).

L'angolo richiesto è determinato dall'uguaglianza

cos α max = l - h max l = 1 - h max l ,

dove l è la lunghezza del filo del pendolo.

Troviamo l'altezza massima della sfera del pendolo sopra la posizione di equilibrio dalla legge di conservazione dell'energia meccanica totale.

Energia totale il pendolo nella posizione di equilibrio e nella posizione estrema è determinato dalle seguenti formule:

• in una posizione di equilibrio -

E1 = mvmax222,

dove m è la massa della sfera del pendolo; v max - modulo della velocità della palla nella posizione di equilibrio (velocità massima), v max = 1,5 m/s;

• in posizione estrema -

E2 = mghmax,

dove g è il modulo dell'accelerazione gravitazionale; h max è l'altezza massima della palla che si solleva sopra la posizione di equilibrio.

Legge di conservazione dell'energia meccanica totale:

m v max 2 2 = m g h max .

Esprimiamo da qui l'altezza massima di sollevamento della palla sopra la posizione di equilibrio:

h massimo = v massimo 2 2 g .

Determiniamo la lunghezza del filo dalla formula per il periodo di oscillazione di un pendolo matematico

T = 2 π l g ,

quelli. lunghezza del filo

l = T 2 g 4 π 2 .

Sostituiamo h max e l nell'espressione per il coseno dell'angolo desiderato:

cos α max = 1 − 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

ed eseguire il calcolo tenendo conto dell'uguaglianza approssimativa π 2 = 10:

cos α max = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1,5) 2 10 2 ⋅ (0,9) 2 = 0,5 .

Ne consegue che l'angolo di deflessione massimo è di 60°.

A rigor di termini, con un angolo di 60° le oscillazioni della sfera non sono piccole ed è illegale utilizzare la formula standard per il periodo di oscillazione di un pendolo matematico.

Conservazione dell'energia durante le oscillazioni di un pendolo a molla

Energia meccanica totale di un pendolo a mollaè costituito da energia cinetica ed energia potenziale:

E = W k + W p ,

dove W k è l'energia cinetica, W k = mv 2 /2; W p - energia potenziale, W p = k (Δx ) 2 /2; m è la massa del carico; v - modulo velocità di carico; k è il coefficiente di rigidezza (elasticità) della molla; Δx - deformazione (tensione o compressione) della molla (Fig. 10.16).

Nel Sistema Internazionale di Unità, l'energia di un sistema oscillatorio meccanico è misurata in joule (1 J).

Durante le oscillazioni armoniche, il pendolo a molla attraversa una serie di stati successivi, quindi è consigliabile considerare l'energia del pendolo a molla in tre posizioni (vedi Fig. 10.16):

1) dentro posizione di equilibrio(1) la velocità del corpo ha valore massimo v max, quindi anche l'energia cinetica è massima:

W k max = m v max 2 2 ;

l'energia potenziale della molla è zero, poiché la molla non è deformata; L’energia totale coincide con l’energia cinetica massima:

E = W kmax ;

2) dentro situazione di emergenza(2) la molla ha una deformazione massima (Δx max), quindi anche l'energia potenziale ha un valore massimo:

W pmax = k (Δ x max) 2 2 ;

l'energia cinetica del corpo è zero; l’energia totale coincide con l’energia potenziale massima:

E = Wpmax;

3) dentro posizione intermedia(3) il corpo ha una velocità istantanea v, la molla ha una certa deformazione in questo momento (Δx), quindi l'energia totale è la somma

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

dove mv 2 /2 è l'energia cinetica; k (Δx) 2 /2 - energia potenziale; m è la massa del carico; v - modulo velocità di carico; k è il coefficiente di rigidezza (elasticità) della molla; Δx - deformazione (tensione o compressione) della molla.

Quando il carico di un pendolo a molla viene spostato dalla sua posizione di equilibrio, agisce su di esso forza ripristinatrice, la cui proiezione sulla direzione del movimento del pendolo è determinata dalla formula

Fx = −kx ,

dove x è lo spostamento del carico del pendolo a molla dalla posizione di equilibrio, x = ∆x, ∆x è la deformazione della molla; k è il coefficiente di rigidezza (elasticità) della molla del pendolo.

Durante le oscillazioni armoniche di un pendolo a molla, l'energia meccanica totale si conserva:

E = cost.

I valori dell'energia totale del pendolo a molla nelle sue tre posizioni si riflettono nella tabella. 10.2.

I valori dell'energia meccanica totale presentati nell'ultima colonna della tabella hanno valori uguali per qualsiasi posizione del pendolo, che è un'espressione matematica legge di conservazione dell’energia meccanica totale:

m vmax 2 2 = k (Δ x max) 2 2 ;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2 ,

dove m è la massa del carico; v è il modulo della velocità istantanea del carico in posizione 3; Δx - deformazione (tensione o compressione) della molla in posizione 3; v max - modulo della velocità massima del carico in posizione 1; Δx max - deformazione massima (tensione o compressione) della molla in posizione 2.

Esempio 12. Un pendolo a molla esegue oscillazioni armoniche. Quante volte la sua energia cinetica è maggiore della sua energia potenziale nel momento in cui lo spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio è un quarto dell'ampiezza?

Soluzione. Confrontiamo due posizioni del pendolo a molla:

• posizione estrema 1 (caratterizzata dallo spostamento massimo del carico del pendolo dalla posizione di equilibrio x max);
• posizione intermedia 2 (caratterizzata da valori intermedi di spostamento dalla posizione di equilibrio x e velocità v →).

L'energia totale del pendolo nelle posizioni estreme e intermedie è determinata dalle seguenti formule:

• in posizione estrema -

E1 = k (Δxmax) 2 2,

dove k è il coefficiente di rigidezza (elasticità) della molla; ∆x max - ampiezza delle oscillazioni (spostamento massimo dalla posizione di equilibrio), ∆x max = A;

• in una posizione intermedia -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

dove m è la massa del carico del pendolo; ∆x - spostamento del carico dalla posizione di equilibrio, ∆x = A /4.

La legge di conservazione dell'energia meccanica totale per un pendolo a molla ha la seguente forma:

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 .

Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza scritta per k (∆x) 2 /2:

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

dove W k è l'energia cinetica del pendolo in posizione intermedia, W k = mv 2 /2; W p - energia potenziale del pendolo in una posizione intermedia, W p = k (∆x) 2 /2.

Esprimiamo il rapporto energetico richiesto dall'equazione:

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 − 1

e calcolarne il valore:

W k W p = (UNA UN / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15 .

Nel momento indicato, il rapporto tra cinetica e energia potenziale il pendolo è uguale a 15.